基于加速梯度投影法的谐波源定位方法*

吴 敏， 许仙明， 陈 艳， 黄灿英

(南昌大学 科学技术学院， 南昌 330029)

目前，随着工业用电设备的负荷迅速增加，电网系统中存在着大量的谐波注入和低功率因素[1]，其不仅导致负载电流失真，且容易引起公共耦合点处的电压畸变，从而引入谐波电压[2-4].电力系统中谐波电流和电压的存在增加了线路的损耗，降低了功率因数，可能导致敏感电子设备出现时间误差[5].

确定主谐波干扰源对于提高电网的电能质量(power quality，PQ)至关重要.常用的谐波源定位包括基于等效电路模型的方法和基于谐波状态估计的方法[6].基于等效电路模型的方法主要用于单谐波定位，该模型简单易懂，但只关注局部谐波，缺乏整体可观性[7]；而基于谐波状态估计的方法则适合多源谐波定位，且只需较少的测量值便可实现精确定位，其具备整体可观性[8].目前，有诸多文献讨论了配电系统中谐波源的检测和识别，在文献[9]中使用混合加权最小二乘估计法求解基于基尔霍夫定律的向量矩阵，然后获得谐波信号幅度；文献[10]的仿真和实验表明，单点策略可以有效对测量点上游或下游的主要谐波源进行检测；文献[11]提出了一种基于电压相测量单元的系统，用于对可疑总线上的谐波进行分类和排序；文献[12]使用灵敏度分析和最小方差来确定谐波源测量设备的最佳位置；文献[13]基于卡尔曼滤波方法解决了有限数量的谐波测量最佳位置和谐波源位置的最优动态估计问题；文献[14]提出了一种基于压缩感知理论的谐波检测方法，使用改进的CoSaMP算法能在信号稀疏度未知时有效地检测谐波信号，但该算法求解过程复杂，计算结果受线路参数的影响.

基于以上分析，本文提出了一种基于加速梯度投影法的谐波源定位方法，将压缩感知理论应用到谐波采集过程中，不仅能减少测量次数，而且能加快检测速度.本文首先介绍了谐波源定位的原理；然后提出了一种加速梯度投影法来求解约束二次规划问题，并基于谐波信号本身的稀疏特性和所采集的数据实现谐波源定位；最后通过分析不同噪声干扰条件下的谐波定位精度来验证本算法的有效性.

1 谐波定位原理

电力系统不同节点的电压和馈线支路电流的大小与相位可以使用同步向量测量装置进行采样，因此，可以以节点的注入谐波电流为状态量，支路的谐波电流或节点的谐波电压为量测量来计算谐波源的位置与状态.其中，以节点的谐波电压为量测量的最小二乘谐波源定位方法易受线路的型号、长度和变压器等影响[15-16]，因此，本文以节点的注入谐波电流为状态量，支路的谐波电流为量测量，并使用加速梯度投影法定位谐波源.

电网中节点的注入谐波电流I和支路的谐波电流Ik的关系表达式[17-18]为

Ik=AI

(1)

式中，A为未知的支路谐波电流和已知节点的注入谐波电流的关系矩阵.

谐波源定位即通过计算注入谐波电流来估计谐波源的分布情况，又因为电网中起主要作用的谐波源较少，且其空间分布较稀疏，因此，本文使用测量矩阵观测原始信号，以获得低维的观测数据.该方法同步进行采样和压缩过程，明显优于传统的先采样后压缩的方式.稀疏信号最优化问题可表示为

(2)

可使用拉格朗日乘数法将式(2)转化为目标函数，即

(3)

式中，τ>0，为拉格朗日因子.

引入正数部分向量和负数部分向量[19]可将式(3)转化为界约束二次规划问题(BCQP)，即

s. t.u≥0，v≥0

(4)

求解出式(4)中的注入谐波电流I，即可利用配电网的定位分区思想估计出谐波源的嫌疑区域，并进行定位.

2 加速梯度投影法

为了求解式(4)所示的BCQP问题，本文基于滞后最速下降法提出了一种加速梯度投影法，将式(4)表示成标准的BCQP问题，即

(5)

文献[20]通过使用变步长梯度投影法求解该问题，然而该方法沿着负梯度方向进行搜索，容易导致震荡和收敛缓慢的问题.本文提出一种加速梯度投影法，该方法能自动选取动量参数，显著提高收敛速度，并沿着动量项和负梯度方向的凸组合进行搜索，加速梯度投影表达式为

rk=-(1-wk)Fk+wkΔzk-1

(6)

式中：Δzk为动量步长；wk∈(0，1)，为动量参数；Fk为投影梯度，并且有

(rk)TFk= -(1-wk)Fk+

wkΔzk-1Fk

(7)

确定梯度下降方向后，更新步长的选取规则为

(8)

zk的下一次梯度更新为

(9)

该算法的整体流程如下所述：

1) 初始化，令z0、Δz0、wk∈(0，1)，ηk=η0，k=0；

2) 计算动量步长，即

Δzk=max(zk+ηkrk，0)-zk

(10)

3) 更新迭代并进行线性搜索，即

γk=(Δzk)TBΔzk

(11)

(12)

zk+1=zk+λkΔzk

(13)

4) 更新ηk，即

(14)

若此时满足以下两个终止条件中的任何一个，则停止更新；否则，转到步骤2).

终止条件1：

|F(zk)-F*|≤emax

(15)

式中：F*为函数的近似最小值；emax为所允许的最大误差.

终止条件2：

(16)

3 基于加速梯度投影法的谐波源定位

在传统的压缩感知谐波源定位过程中，量测节点的配置不同，会得到不同的定位精度.若忽视干扰噪声的存在，而只根据导纳矩阵和电网的拓扑结构来选择量测点，极易导致系统的不可观，从而无法得到精确的谐波源定位.

本文所提出的基于加速梯度投影法的谐波源定位不仅能提高谐波源定位的速度，且还可以排除干扰电流的影响.该方法主要包括两个步骤，一是粗略估计谐波源电流得到谐波源嫌疑区域；二是根据粗估计结果调整量测节点，并消除噪声干扰.基于加速梯度投影法谐波源定位方法的基本流程如图1所示.

图1 基于加速梯度投影法的谐波源定位方法流程Fig.1 Flow chart of harmonic source location method based on accelerated gradient projection algorithm

4 实验与结果分析

本文使用如图2所示的IEEE 123节点模型进行仿真测试.图2中嫌疑谐波源区域已用黑圈圈出，现使用本文算法精确定位谐波源区域.

IEEE 123节点线路长度按照标准模型设置，额定电压为4.16 kV.文中使用均方根误差(root mean square error，RMSE)来衡量本文估计的谐波电流与真实谐波电流之间的偏差，其计算公式为

(18)

式中：m为估计节点的总数；d为估计值与真实值之间的差值.

首先向节点注入谐波电流以设置谐波源，并以注入谐波电流为状态量，以支路的谐波电流为量测量.量测值可使用前推回代潮流法计算得到，并分别比较稳态与不同噪声级别时传统的稀疏表示法、最小二乘法和本文算法谐波源定位的性能.

4.1 稳态谐波定位

首先在IEEE 123节点网络的嫌疑谐波区域布置6个信噪比(SNR)为20 dB的7次谐波源，并量测20个节点的电流.假设实验设置的谐波源节点分别为20、22、23、31、41和43，得到如表1所示的谐波电流比较结果.

图2 IEEE 123节点电网拓扑结构Fig.2 Topological structure of IEEE 123 node power grid

从表1的结果可看出，使用最小二乘法得到的估计结果精度最差，传统的稀疏表示法只能准确估计出41和43号节点的电流值，而本文算法能准确估计所有6个节点的电流.

表1 谐波源估计结果比较Tab.1 Comparison in estimation results of harmonic source A

为了进一步验证本文算法的有效性，使用随机设置的6个7次谐波源进行100次重复实验，得到传统的稀疏表示法、最小二乘法和本文算法谐波源定位的均方根误差，结果如图3所示.

图3 RMSE结果Fig.3 RMSE results

从图3可以看出，本文提出的加速稀疏表示法只在部分位置出现了较大的波动，大部分仿真结果的均方根误差均保持在5%以下；而最小二乘法的波动更为稳定，但均方根误差在9.9%左右，误差值较大；传统的稀疏表示法波动较本文算法更频繁，但误差均值达到了6.3%.综合表1和图3的结果可知，本文提出的加速稀疏表示法能获得更高的谐波源定位精度，且具有一定的抗噪声能力.

4.2 抗噪声能力测试

本文测试了不同信噪比时3种算法的RMSE结果，实验设置信噪比为5～45 dB，并进行100次实验.图4为3种算法的平均RMSE情况.

从图4中可以看出：本文提出的加速稀疏表示法的RMSE随着信噪比的增加逐渐减小；最小二乘法的RMSE在20 dB时就趋于稳定到10%；传统稀疏表示法则缓慢下降并有所波动，而误差基本在3%以上.综上所述，本文提出的加速稀疏表示法具有更强的抗噪声能力.

图4 不同信噪比时RMSE结果Fig.4 RMSE results at different signal-to-noise ratio(SNR)

4.3 谐波检测时间比较

将3种算法在3次、5次、7次和11次谐波情况下的检测时间进行比较，其结果如表2所示.

表2 谐波检测时间比较Tab.2 Comparison in harmonic detection time ms

从表2可以看出，随着谐波次数的增加，检测时间也在明显增加.在各种谐波情况下，基于加速稀疏表示法均能获得较快的检测速度，证明本文提出的基于加速稀疏表示法具有较高的检测效率.

5 结 论

为了提高电网的电能质量水平，并确定电网中的谐波干扰源，本文提出了一种基于加速梯度投影法的谐波源定位方法.首先将谐波源定位问题转化为求解界约束二次规划问题，然后提出一种加速梯度投影法.该方法能自动选取动量参数，显著提高收敛速度，并沿着动量项和负梯度方向的凸组合进行搜索，不仅提高了谐波源定位的速度，且还能排除干扰电流的影响.在IEEE 123节点上的多次仿真结果表明，相比于传统的稀疏表示法和最小二乘法，本文提出的加速稀疏表示法能获得更高的谐波源定位精度，且具有更强的抗噪声能力.