怎样解题

邵贤虎

师：同学们，在平时的练习中，是不是经常有这样的感觉，拿到一道较难的习题，第一次看完感觉无从下手，这很大程度上可归结为审题的失败，未制订有效的解题计划，计划实施不扎实严谨，缺乏解后反思，

今天给大家介绍一位伟大的美籍匈牙利数学教育家乔治·波利亚（G.Polya，1887～1985）.他十分重视解题在数学学习中的作用，并对解题方法进行了多年的研究和实践，绘制出了“怎样解题”表，主要可分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾”四个阶段，下面结合这四个阶段及本人的思考，和同学们聊聊怎样解题.

一、弄清问题：解题从审题开始

在习题中经常会出现一些容易看错、易被忽视或容易误解的字词，如果我们粗心大意，就会导致失误.因此，我们必须了解问题的文字叙述，要善于“斟字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题扫除障碍，如已知是什么？未知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？

例1 一直线过点M（3，-4），且在x轴和y轴上的截距相等，求它的方程.

师：本题求直线方程，条件中你认为关键的字眼是什么？

生：截距相等.

师：你会选择直线方程的什么形式？

生：截距式，

师：设截距式应注意什么？怎么解决？

生：应注意截距式的局限性，不能忽视直线在x轴和y轴上的截距都为零，即直线过原点的情况.

生：当直线过原点时，易求其方程为4x+3y=0;

当直线不过原点时，用直线方程的截距式，设所求方程为x/a+y/a=1，

把已知点M（3，-4）的坐标代人方程，得a=-1.此时所求方程为x/-1+y/-1=1，即x+y+1=0.

故所求直线方程为4x+3y=0和x+y+1=0.

师：很好！本题审题紧扣关键字眼“截距相等”，且避免了漏解的情况.这些关键字眼对问题的解决至关重要，必须给予高度关注.

二、拟定计划：确定方法和途径

拟定计划时，要善于对条件或结论进行简化，化繁为简、化难为易.解题思路不能只停留在原题上，而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题，这样就能找到有效解决问题的方法和途径.因此，我们要注意分析题意，善于简化，寻求转换，并从中领悟出求简和化归的重要思想，从而拟订解题计划，

当教师展示题目后，同学们认为条件很简单，但字母较多.怎样才能简化呢？

师：你能将条件“翻译”一下吗？

斜率求出来了，还缺一个点的坐标，已知条件中虽然有两点，但都含有未知字母，不知道下面应该怎么办.

师：已知条件中有两点，虽然含有未知字母，能不能勇敢地选取其中一个点尝试一下呢？

师：很好！我们再回头重新审视一下等式①②，说明了什么？

师：很好，这种解法体现了解析几何最基本、最本质的思想.

师：本题第一种解法充分展示了由审题所带来的解题计划的一步步实现，步步为营，成功解决问题;第二种解法“简约而不简单”，体现了良好的大局观，令人拍手称快！

三、实施计划：解题认识与优化

实施计划过程中，我们不仅要重视步骤的正确性，给出必要的理由与依据，而且要善于一题多解或一题多变，以加深认识，优化解題思路.

生2：我觉得生1的方法思路简单，但计算量过大，其实可以通过两个圆的公共弦方程得到切点弦方程.

生3：生2的解法明显比生1的解法好，而且计算量少很多，但如果换一个圆和已知圆的公共弦也是非常不错的选择.

生4：生2和生3选择两个圆的公共弦很好，其实我觉得可以直接解决.

师：以上4位同学给我们呈现了四种不同的解法，各有特色.生1的解法很朴实，但往往运算量过大，特别是计算能力较弱的同学就会出现会做但做不对的情况;生2和生3的解法本质一样，但选择的圆不一样，也是各有一番风味;生4的解法体现了解析几何最基本、最本质的思想.希望大家回去后再回味一下这4种解法，体会数学选择的神奇.

师：我们在解题过程中经常面临选择（解题计划的变更），如何选择合适的解析式，如何选择合适的方法，如何选择好的算法（解题计划的优化），这都是我们平时应当思考的.

四、回顾：解后反思意义大

师：解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题步骤、题目结论的反思，检验你的结论，提高自我监控能力.

波利亚曾谈到，在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇.在问题解决之后，应注意数学思想和方法的总结、提炼和升华，总结解题规律，优化解题过程，并尝试把本题的结果或解法用于其他问题，只有这样，我们的解题能力才能不断提高.