从一道课本习题说开去

丁兴春

根据上面的结论可知，当点P在圆O上时，作出直线l很容易，这时因为直线l是一条过点P且与圆O相切的直线，据此我们就会自然而然地提出下列两个问题：

问题1：当点P（a，b）在圆O外时，怎样作出这样的直线l？

问题2：当点P（a，b）在圆O内（异于坐标原点O）时，怎样作出这样的直线l？

我们先来研究第一个问题.此时，直线l与圆O是相交的，

第一步，作出以OP为直径的圆M，交圆O于A，B两点;

第二步，连结A，B，所得直线AB即为l（如图1）.

由于OP为圆M的直径，故连结PA，PB，OA，OB可得OA⊥PA，OB⊥PB，于是PA，PB均为圆O的两条切线，于是直线l也可以通过如下步骤作出来：

第一步，过圆O外的点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B;

第二步，连结A，B，所得直线AB即为l（如图2）.

下面我们再来研究第二个问题.当点P（a，b）在圆O内（异于坐标原点O）时，怎样作出直线l.

过点P任作一直线l₁交圆O于点A₁，B，，分别过点A₁，B₁作圆O的两条切线相交于点Q₁，不妨设点Q₁的坐標为点（x₁，y₁），由第一个问题的讨论可知x₁，y₁满足方程ax₁+by₁=r₂.同样再过点P任作另一条直线l₂交圆O于点A₂，B₂，分别过点A₂，B₂作圆O的两条切线相交于点Q₂，不妨设点Q₂的坐标为点（x₂，y₂），则有ax₂+by₂=r₂.根据ax₁+by₁=r₂及ax₂+by₂=r₂可知，点Q₁，Q₂均在直线ax+by=r₂上，于是直线Q₁Q₂即为直线l（如图3）.

如学至《必修4》，我们还可利用向量方法给出这三条直线方程的证明.

1.点P（a，b）在圆O：x₂+y₂=r₂（r>0）上，则过点P与圆O相切的直线l的方程为ax+by=r₂.

2.点P（a，b）在圆O：x₂+y₂=r₂（r>0）外，过点P作圆O的两条切线PA，PB（A，B为切点），则直线AB的方程为ax+by=r₂.

证明 如图5，设Q（x，y）为直线AB上任意一点，

3.点P（a，b）在圆O内（异于坐标原点O），过点P任作两条直线l₁，l₂交圆O于点A₁，B₁;A₂，B₂，分别过点A₁，B₁作圆O的两条切线相交于点Q₁，分别过点A₂，B₂作圆O的两条切线相交于点Q₂，则直线Q₁Q₂的方程为ax+by=r₂.