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从一道课本习题说开去

2018-12-03丁兴春

新高考·高一数学 2018年7期
关键词:切点过点切线

丁兴春

根据上面的结论可知,当点P在圆O上时,作出直线l很容易,这时因为直线l是一条过点P且与圆O相切的直线,据此我们就会自然而然地提出下列两个问题:

问题1:当点P(a,b)在圆O外时,怎样作出这样的直线l?

问题2:当点P(a,b)在圆O内(异于坐标原点O)时,怎样作出这样的直线l?

我们先来研究第一个问题.此时,直线l与圆O是相交的,

第一步,作出以OP为直径的圆M,交圆O于A,B两点;

第二步,连结A,B,所得直线AB即为l(如图1).

由于OP为圆M的直径,故连结PA,PB,OA,OB可得OA⊥PA,OB⊥PB,于是PA,PB均为圆O的两条切线,于是直线l也可以通过如下步骤作出来:

第一步,过圆O外的点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B;

第二步,连结A,B,所得直线AB即为l(如图2).

下面我们再来研究第二个问题.当点P(a,b)在圆O内(异于坐标原点O)时,怎样作出直线l.

过点P任作一直线l1交圆O于点A1,B,,分别过点A1,B1作圆O的两条切线相交于点Q1,不妨设点Q1的坐標为点(x1,y1),由第一个问题的讨论可知x1,y1满足方程ax1+by1=r2.同样再过点P任作另一条直线l2交圆O于点A2,B2,分别过点A2,B2作圆O的两条切线相交于点Q2,不妨设点Q2的坐标为点(x2,y2),则有ax2+by2=r2.根据ax1+by1=r2及ax2+by2=r2可知,点Q1,Q2均在直线ax+by=r2上,于是直线Q1Q2即为直线l(如图3).

如学至《必修4》,我们还可利用向量方法给出这三条直线方程的证明.

1.点P(a,b)在圆O:x2+y2=r2(r>0)上,则过点P与圆O相切的直线l的方程为ax+by=r2.

2.点P(a,b)在圆O:x2+y2=r2(r>0)外,过点P作圆O的两条切线PA,PB(A,B为切点),则直线AB的方程为ax+by=r2.

证明 如图5,设Q(x,y)为直线AB上任意一点,

3.点P(a,b)在圆O内(异于坐标原点O),过点P任作两条直线l1,l2交圆O于点A1,B1;A2,B2,分别过点A1,B1作圆O的两条切线相交于点Q1,分别过点A2,B2作圆O的两条切线相交于点Q2,则直线Q1Q2的方程为ax+by=r2.

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