一样的直线，不一样的精彩

南爱玲

直线，以其直白的外形率先进入我们的视野，首先吸引我们的是它简洁直观的几何美.学习了直线的方程后，直线是平面直角坐标系中二元一次方程所表示的图形.我们进一步感受到了直线方程的代数美，斜截式的简洁美，点斜式的形象美，截距式的对称美都让我们为之深深地着迷.从平面解析几何的角度看，直线是几何图形，直线的方程是其代数形式，用代数的方法研究几何图形，正是平面解析几何的精髓所在.

一、直线方程有五式，一兀一次为其宗

哪些条件下可以求直线的方程呢？知道了直线上的两个点，或者已知一点和直线的斜率，都可以直接运用公式来求直线方程.接下来让我们随着例题，一起思考如何求直线的方程，

例1 已知△AF₁F₂的三个顶点坐标分别是A（2，3），F₁（-2，0），F₂（2，0），求∠F₁AF₂的平分线所在的直线方程.

同学们，当你读完题目时，你是怎么想的呢？

这条直线上已经有一点A，只要再求出一点，或者求出其斜率，问题就解决啦！没错，这样想就对了！

我们来看第一种思路：求一个特殊点.

直线上的点有无数个，你会求哪个点呢？我们喜欢简单点，比如直线与z轴的交点或者与y轴的交点，因为尘標轴上的点有一个坐标为0，可以简化运算，顺着这个思路，我们来求求看.

到这里，南老师要问同学们一个问题了：什么叫直线的方程啊？答：直线的方程就是求直线上任意一点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x之间满足的关系.那我们能否从这个角度来解决问题呢？OF COURSE！

解完题，同学们会不会有这样一个疑问：为什么会有两解呢？如何取舍的呢？（请聪明的你思考3秒钟）角平分线有两条，一条是内角平分线，还有一条就是外角平分线啦，本题显然要求的是内角平分线.

我们回到题目本身再来看，说到角平分线，你还会想到什么呢？没错，有一个定理叫角平分线定理，说的是△ABC中，角A的平分线交BC于点D，则有AB/AC=BD/DC（有兴趣的同学可以去证明一下哦，此处不再赘述）.由此，我们可以得到本题的第三种解法：

解法3 设所求直线l交x轴于点T（t，0），由内角平分线定理知F₁T/TF₂=F₁A/AF₂=5/3，又F₁F₂=4，可求得T（1/2，o），k_AT=2，直线l的方程是2x-y-1=0.

说到角平分线，我们还会想到，在等腰三角形中高、角平分线和中线三线合一，但是本题不是等腰三角形，怎么办呢？没关系，没有等腰三角形，我们可以构造啊！

解法4 延长AF₂至AD使A =AF₁=5，则点D（2，-2），由等腰三角形三线合一知FiD的中点M（O，-1）在直线l上，k_AM=2，所以直线l的方程是2x-y=0.

比较上面四种不同的解法，方法一特殊化，在直线上再求出一个点的坐标来求直线方程;方法二从直线方程的视角，研究直线上任意一点横坐标x与纵坐标y之间的关系;方法三从角平分线定理出发求出直线与x，轴交点的坐标;方法四从三角形的视角，构造等腰三角形解决问题.我们发现在求直线的方程时，抓住问题的本质，从各个不同的视角去审视，你会发现原来直线的世界如此精彩！

二、平移旋转为变化，斜率定点为其宗

直线的方程由点和斜率确定，点定斜率不定时，直线绕着这个点旋转形成直线束;斜率定而位置不定时，直线以相同的倾斜程度平移形成直线束.在碰到此类问题时，我们要在动中求定，以静制动.例2 圆C：（x-2）²+（y-2）²=9，直线l：（2m+1）x+（m+l）y-7m-4 =0（m∈R）.（l）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点.（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程，

到这里，问题就愉快地解决了，解完题，我们再回头看一看：第一种方法，找到定点，运算量较小，第二种代数方法，运算量略大，但也不是高不可攀的，这也正应了我们数学上的那句名言：多思则少算，少思则多算，聪明的你，想到了哪种方法呢？还有没有不一样的做法呢？跟你的小伙伴们好好探讨一下吧！