试论分类讨论思想在高中数学教学中的应用

内蒙古通辽市扎鲁特一中 王学全

分类讨论思想既是一种教学思想，也是学习思想和解题思想。一般来说，教师将分类讨论思想作为教学思想时，应用于将大型的知识体系分割成多个小知识点，分层教学，类似于从部分到整体教学；学生将分类讨论思想作为学习思想与教师将其作为教学思想相同，将分类讨论思想作为解题思想是学生在考试中运用最广泛的思想，学生通过分块求解将大题分为小题，再以小题解大题，可以有效降低解题难度，加快解题速度，十分考验学生的数学解题能力。

一、分类讨论思想的对象与原则

分类讨论的第一步就是要确定分类讨论的对象，在高中数学中大致有：（1）数与代数中的概念、定义、定理公式以及含参方程和不等式；（2）解析几何中的图形位置以及图形形状；（3）一般题设的分类。高中数学题目多而杂，可是许多题目万变不离其宗，考查目标相同，因此教师与学生应该舍弃题海战术，将分类讨论思想运用于对题目类型的归纳，形成以一题破万题的做题手段。

分类讨论思想有三大原则：（1）每级分类按同一标准进行；（2）分类应逐级进行；（3）同级互斥、不得越级。在实际教学或者学习中应用分类讨论思想时，要统一分类标准，只有统一分类标准，才能发挥其最大作用，否则只会越分越乱，就像是教师将学生按成绩作为等级标准分组，按讨论对象作为标准进行分组讨论，讨论对象的难度与小组学习水平的高低要一一对应，如果将难度低的讨论对象分配给学习水平高的小组，那么分组学习就毫无意义，反之亦然。

二、把握定理，重视数学理论

把握定理是学生在数学考试中运用分类讨论思想的前提。其实经过了长期的数学学习，学生自然而然就能发觉高中数学中的众多知识、理论、定理或者公式等等都有一定的相似性，高中生基本都能有意识地分类记忆，这也是运用了分类讨论思想。除此以外，数学公式与定理的使用都有其限制条件，不能任意使用，这是因为这些定理与公式本身就存在限制，因此在根据公式或者定理进行解题时就需要考虑这些限制条件，以避免答案出现不严谨的情况。大多不能够在考题中灵活使用定理、公式的高中生，都有一个共同点：对定理以及公式的内涵以及限制条件理解不透彻。导致这种现象出现的原因在于高中数学教师对定理与公式的讲解不重视，使得许多学生难以把握定理。因此，在实际教学中，高中数学教师应该重视数学理论知识的讲解，加强学生对定理以及公式的理解。

以人教A版《等比数列》的教学为例，在教学等比数列时，等比数列的定理本身就具有分类讨论思想。如，等比数列的求和分为q等于1或者不等于1两种情况，q是否等于1往往是学生忽略的限制条件。以相关考题为例，如：等比数列{an}的前n项和

分析：这道题主要考查学生对等比数列通项公式与求和公式的运用，属于基础题，但是许多同学经常会忘记讨论定义中q是否等于1。首先讨论q的情况，再分别应用等比数列中的通项公式与求和公式，最后解方程即可。过程如下：解：

因此，在数学考试中，学生若要使用分类讨论思想，就必须要把握定理。这种类型的题目注重考查学生对数学定理的理解与运用，在运用定理时，一定要注意分类讨论。在高中数学教学中，数学教师一定要重视数学定理与公式的讲解，让学生在考试中熟练运用分类讨论思想。

三、不重不漏，明确讨论对象

高中数学题目考查全面，很多题目都需要学生进行不同情况的讨论，如何讨论全面并且做到不重不漏就成为学生做题的难点，也是数学教学的一大难点。首先，数学教师一定要有意识地引导学生努力去全面讨论，提高运用分类讨论思想的解题能力，高中数学应用分类讨论思想最主要的就是根据条件以及问题来确定讨论对象，并以此进行分类讨论。其次，分类过程中想要做到不重不漏，在分类讨论时就要层次清晰，切忌越级讨论，如此分类讨论才比较全面，才能减少做题失误。

以人教A版必修一第一章《集合》的教学为例，本章涉及很多分类讨论的思想。如：a＞0，a≠1，p=loga（a3+1），q=loga（a2+1），比较p、q的大小。学生在做这道题往往受到题目中a＞0、a≠1的影响，在讨论a的范围时却忘记讨论a＞0与a＜0的情况。看似简单的题目，学生们只有应用分类讨论思想讨论不同情况，并且要做到不重不漏，明确分类讨论的对象，才能拿到全分。因此，为了防止学生在做题时出现讨论不全面的情况，数学教师要教导学生在讨论前首先要明确讨论对象，切忌盲目讨论，否则做题时就会容易失去方向，容易混乱。

分类讨论思想在高中数学教学中的应用十分广泛，在教学上将大型知识体系分割成小的知识点，可以有效减轻教师的教学压力，在学习上减轻学生的知识接受强度。分类考论思想在考试中能够有效帮助学生快速、全面地解题，并且能够培养学生的分步解题思维，形成一种高效的解题规范。因此，高中数学教师在数学教学上要有意识地渗透分类讨论思想，培养学生的分类讨论意识，以不断提高教学质量。