复变函数课程的教学改革与实践

2018-12-01◎陈莉王鹏

数学学习与研究 2018年13期

◎陈　莉　王　鹏

(五邑大学数学与计算科学学院，广东　江门　529020)

复变函数是许多工科院校工科专业的必修课程，立足于解决实际工程问题，对其建立模型、求解模型并最终解决问题.由于复变函数是数字信号处理、控制论、高等物理等课程的基本数学工具，因此，其直接目标是帮助学生掌握必要的数学知识和工具，为后续专业基础课和专业课做准备.一方面，复变函数是初等微积分的继续学习，另一方面，其研究对象是初等微积分从实数域到复数域的推广.尽管两门课程在学习上具有一定的相似性，但由于复变函数课时相对较少，内容具有高度的抽象性、严密的逻辑性，本身包含了大量的概念和定理及计算方法，这无疑给复变函数的教学带来一定阻碍.传统的教学模式，学生对于复变函数的理论背景与应用都停留在教材与习题，很难开阔学生的眼界，同样很难建立起学生对知识的兴趣，而高等教育阶段除了获取专业知识，更加重要的是对于专业知识的应用、思维的创新和能力的锻炼，因此，如何合理安排课时讲授知识、如何增强教学效果、如何提高学生的兴趣，已成为亟待解决的问题[1][2].针对复变函数课程的这些特点，我们可从以下几个方面进行改革.

一、提高教师的专业素养，认真组织教学过程

1.教学过程中，学生是主体，教师是主导，在教学的过程中会遇到各种难点与重点，有些要求不高容易理解与解释，有些则难讲解[2][3].而对同样的一个问题，不同的教师表达的方式不同，但有一点是肯定的，就是基础越扎实的教师能够想出的解释方式更完美，更加能够用简洁的语言清晰地解释学生存在的问题，只有专业基础扎实的教师在宏观上，才能更好地把握整个教学过程中的知识结构，才能够逻辑严密，顺其自然地把知识传送到学生的大脑里，在微观上才能够更加敏锐的察觉学生容易忽略并且容易出错的知识点，对于较难理解的问题，能够找到一种相对浅显的办法去解释该问题.因此，复变函数课程组的教师可以通过积极开展教学研讨活动，强化教学过程设计，交流教学方法等多种途径提高自己的业务能力和素养，改变教学观念，增强教改创新意识[4][5].

2.课程的引入

第一节课应该先向学生简单介绍，复变函数理论在物理空气动力学，流体力学，弹性力学，自动控制学，信号处理，电子工程技术等领域的应用.抓住学生的好奇心，使他们产生学习该课程的兴趣，激发其学习的积极性.然后介绍复变函数的主要研究对象跟高等数学之间的区别与联系，自始至终都可采用比较的教学方法，找寻其共性并区分差异性，认真区别二者的本质.学习函数的连续性，可导性，可微性和可积性时，学生对照二元函数的一系列性质，可以自己总结，以培养学生的自信心.

3.完善学生的知识储备，为该课程打好基础

复变函数这门课程的主要任务就是研究复数领域内的变量之间的相互依赖关系，学生在学习工程数学复变函数这门课程的过程中，普遍感到概念抽象、计算烦琐、思维难于开展，问题难以入手.其主要原因在于基础知识的储备不够，这就需要任课教师结合本专业实际，上新课之前，先简明扼要地复习一下相关知识，这样可以起到事半功倍的效果.比如，第一章的复数及其复变函数，第二章的解析函数，这两章是本课程的基础，学习效果的好坏，直接影响着本课程的教学效果，对后续内容的学习积极性更是有着重要影响.这两章里都多次用到三角函数的积化和差和和差化积公式，倍角公式，半角公式和反三角函数的一些知识.这些知识在高中阶段学生都学过了，但是因为不要求记忆，很多学生到用时根本想不起来.这就需要教师在授课前提醒学生们复习相关知识，扫除学习障碍，提高学习效果.另外，复变函数中的许多概念、理论和方法，都是高等数学中的实变函数在复数领域内的推广和发展，因而，它们之间有许多相似之处，如果学生对高等数学的相关知识理解得很深刻，那么复变函数里的这些概念就会轻松许多，因此，这些知识就需要教师带领学生先来复习，以应用到以后本课程的学习中.

二、修订教学大纲，优化教学内容

工科复变函数课程包含了多方面的知识的综合应用，如高等数学、高等几何、物理等，而且知识点多.作为工科专业，不可能把所有主要内容都包罗无遗的吸收.根据工科专业的特点在学时减少的情况下，为有效地完成教学任务，首先必须对内容进行合理安排，教学大纲把各章节的内容的要求分成三类：掌握、理解和了解.掌握的内容要重点讲述，理解和了解的内容，可以要求学生自学.这样可以做到主次分明、重点突出，还可以培养学生的自学能力.从教材的整体结构分析，柯西的积分理论，级数理论和几何理论，是该课程学习的基础，在学时分配上应予以一定的倾斜.而解析延拓和调和函数可以减少课时分配，作为自学内容加以理解，用较少学时，把最基本的概念和方法讲清楚，避免繁杂冗长的数学推理，以免让学生产生厌烦心理而不再认真学习.把握好各个阶段的重点内容，注意重点讲解概念方法的实例，增强学生运用知识的能力.这也符合工科专业学生的认知特点和思维顺序，学生易懂易会，因此，必要的数学基础理论是必须掌握的，但关键在于能以清晰的思路，将相关数学知识灵活应用于实际问题.教师不要追求面面俱到，要注意留给学生思考的空间，启发学生认真思考，促使学生养成思考的习惯，对于一些在能力范围内，重要但是难度不大的内容，可以让学生自己组织材料学习.

三、改革教学方法和教学手段，提高教学效果

灵活多样的教学方法，首先激发学生的学习积极性，教学活动中注重学生的主体意识，寻找适当的切入点.通过指出本课程的理论和方法，在工程技术领域的实际应用，使学生懂得该课程的重要性，激发学生的学习积极性.如解析函数在平面场问题中的应用，共形映射在电场分布中的应用.其次，加强教学的良性互动，强化教师的主导作用，以教师为主导，学生为主体，以学为主，教服务于学，启发于学，教学互动.最后，理论与应用并重，提高学生学习的主观能动性.讲述复变函数的一些理论时，结合实际问题，使学生感受到课程的具体应用，认识到这些理论知识的实用性.如讲授柯西积分公式时可让学生思考如何测得地心温度的问题，如果能测得地表各点的温度，则可以利用柯西积分公式，求出地心的温度；讲共形映射时指出，许多地质测量工程的工程技术人员利用该原理来处理一些不规则图形等.

四、传统教学手段与多媒体相结合

传统教学手段的基础上采用多媒体辅助教学，将传统讲授的优点和多媒体教学的长处有机结合，实现优势互补，提高教学水平.上课过程中，具体的数学推导过程采用板书，而理论叙述和实际应用则采用多媒体，动静结合，教学效果大为提高.各章节习题课，是教师针对重难点知识点和学生作业的薄弱环节，对学生掌握不太熟练或者学习效果不好的知识点的总结、深化.因此，通过习题课教师可以总结某一类问题的解法，从而可以加深学生综合解决问题的能力，某些跨章节的知识点可以通过习题课系统的归纳出来，让学生明白相关知识点之间的联系和区别，从而更好地掌握这些知识点.然而，如前所述，在复变函数学时有限的情况下，合理利用微课有助于解决习题课和学时有限之间的矛盾.我们可以将习题制作成微课视频，充分运用网络教学平台，让学生通过在线观看微课，帮助学生理解课堂上的难点，总结每个章节的重点.通过习题微课视频不仅能够巩固所学习的知识点而且可以发现自己在课堂学习的不足，从而将传统教学手段与现代多媒体相结合，大大提升教学效果.

五、“重应用，弱理论”改革考核形式——实行以实践能力为导向的课程考核改革

目前，复变函数课程普遍采用的考试方式都是注重理论推导、手工计算和证明.这种考核方式与现代信息社会严重脱节，在新的授课机制下，由于重点突出学生的动手能力以及复变函数和工科专业知识的结合能力，弱化了数学的计算、推导和证明，这就使得传统的课程考核方式已经不能适合课程考核需求，要求我们对课程的考核方式进行改革.我们可以采用与专业对口的方式，在课程合理的知识点范围内，将专业学院的基础知识融入复变函数知识中，让学生通过Matlab软件编程解决相应的问题.比如，让学生在Matlab中通过奇异值分解的方式实现图像的压缩效果.能和自己的专业知识相结合，将大大地激发学生对复变函数的学习兴趣，灵活的考核方式可以检验学生灵活运用所学知识的能力.

复变函数的教学改革还在不断地思考与探索中，它的方法内容，评价方式，以及与现代科学技术的联系与应用都需要进行长久的思考与改变，希望借助复变函数的教学，带动其他相关学科的发展，为我国培养更多的应用型人才.