康托集合论的错误的证据

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

一、康托集合论的错误的直接证据

康托集合论的基本观点为一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等，这个观点即为康托集合论的一个定理，为了指出康托集合论的错误的直接证据，现在将康托集合论的这个定理及其证明引述如下：

定理 令a，b为实数，且a＜b，则[a，b]的基数等于[0，1]的基数，即等于c。

证明 令 f（x）=a+（b-a）x，显然 f为 [0，1]→[a，b]的一个双射函数，这就证明了[a，b]的基数也是c。

康托认为上述定理的证明结果已经表明，一个无穷集合可以和它的一个真子集一一对应，部分可以和全体相等。但是，事实并非如此，我们下面的验证将表明这一点。

令y=f（x）=a+（b-a）x，根据康托的上述定理，y=f（x）=a+（b-a）x为[0，1]→[a，b]的双射函数，或者说，根据上述函数即可求出[0，1]→[a，b]的双射函数，如果根据这个函数在一定的具体条件下得不到[0，1]→[a，b]的双射函数，也就表明，这时[0，1]→[a，b]不存在双射函数。

事实上，验证康托集合论的上述定理的结果是否正确是一件很简单的事情：根据函数y=f（x）=a+（b-a）x，并且令a=0，b=2，这样，我们就可以根据两种情况分别来验证康托的上述定理是否正确。

首先，我们来验证第一种情况，即[0，1]和[0，2]都在x轴上。根据康托求出[0，1]→[0，2]双射函数的方法，根据函数y=f（x）=a+（b-a）x，则[0，1]→[0，2]的双射函数应该是y=2x，但是事实上，在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，显而易见，函数y=2x并不是[0，1]→[0，2]的双射函数，也就是说，在这种情况下，[0，1]→[0，2]就不存在双射函数，因此，[0，1]和[0，2]只能是非一一对应的关系，而不可能是一一对应的关系。这也就是说，x轴上的集合[0，2]不可能和它的一个也在x轴上的真子集[0，1]发生一一对应的关系，这是一个客观事实。这就验证了康托的上述定理在这种情况下是错误的，因此，康托的这个定理就是错误的，康托集合论也就是错误的理论。而在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，它们只能是非一一对应的关系的这个事实就是康托集合论的错误的直接证据。

现在我们来分析[0，1]在x轴上，而[0，2]在y轴上的情况，根据康托的函数y=f（x）=a+（b-a），显然，y=2x为[0，1]的双射函数，根据康托的理论，[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。按照康托的观点，[0，1]和[0，2]都是实数点的集合，并且[0，1]是[0，2]的真子集。根据上面的分析，在[0，1]和[0，2]都在x轴上的情况下，[0，1]和[0，2]是非一一对应的关系，而在[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上的情况下，[0，1]和[0，2]却是一一对应的关系，这显然是互相矛盾的，如果[0，1]和[0，2]是实数点的集合，上述矛盾根据康托集合论的理论就无法解释，因此康托的观点，即[0，1]和[0，2]是实数点的集合的观点不能成立，唯一的解释就是[0，1]和[0，2]是非实数点的集合。下面我们就根据我的论文“康托集合论存在的矛盾”和“超实集合论”中提出的超实数点和超实函数的理论给出，为什么康托关于[0，1]和[0，2]是实数点的集合的观点是错误的以及为什么[0，1]和[0，2]一定是超实数点的集合，并且根据超实函数的理论给出康托集合论的错误的间接证据。

二、康托集合论的错误的间接证据之一

现在对超实数点和超实函数的理论简单介绍如下：

超实数点、超实数点的集合和超实函数的定义：令X=x+dx为超实变量，则实变量x表示超实变量X在数轴上的位置，dx表示与超实变量X对应的点的性质（在这里，dx和微分的概念有本质的区别），dx为无限小量，它小于任意正整数但是不等于0，它的几何意义为超实变量X在数轴上对应点的无限小长度。与超实变量X对应的点则为超实数点，与超实数点对应的集合则为超实数点的集合，与超实变量对应的函数则为超实函数。

根据上面的定义，如果有实变量y和x，则有超实变量Y=y+dy和X=x+dx；如果有实函数y=f（x），则有超实函数Y=y+dy=f（X）=f（x+dx），则 dy=f（x+dx）-y=f（x+dx）-f（x），于是有重要公式dy=f（x+dx）-f（x）。下面我们来分析这个公式：

在上述公式中，x表示超实数点X在数轴上的位置，dx表示该点的性质，根据上述公式，如果有实函数y=f（x），则y轴和x轴上点的性质就已经确定了，两个数轴上的点是超实数点，而并非实数点。这就是前面我们为什么说，康托关于[0，1]和[0，2]是实数点的集合的观点是错误的，而事实上，它们是超实数点的集合。再有，超实函数Y=f（x+dx），这时如果去掉dx，超实函数Y就转变为实函数y=f（x），因此实函数f（x）是超实函数丢掉一个重要部分dx而得到的函数，从这个意义上看，实函数仍是一个失真函数。这样，我们就有了和康托完全不同的对实函数的一个符合客观事实的认识。相反，康托对实函数的认识是违背客观事实的，后边的论述将表明，这是造成康托集合论错误的根本原因。

根据以上超实数点和超实函数理论的简介，我们来研究[0，1]在x轴上，[0，2]在y轴上的情况，根据康托的理论以及函数y=f（x）=a+（b-a）x，则y=2x为[0，1]的双射函数，如果按照康托的观点，在y=2x的条件下，[0，1]和[0，2]是实数点的集合，并且[0，1]是[0，2]的真子集，又存在y=2x为[0，1]的双射函数，则[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。这是否可以说，在这种情况下，康托的上述定理成立？我们说，不能，因为根据康托集合论的理论无法解释为什么在[0，1]和[0，2]都在x轴上的时候，[0，1]不存在双射函数，[0，1]和[0，2]是非一一对应的关系，这时，康托的上述定理不成立。再有，根据上面叙述的超实函数的理论得出的公式dy=f（x+dx）-f（x），在y=2x的条件下，dy=2dx。这表明，x轴上的点的性质和y轴上点的性质不同，因此，[0，1]不是[0，2]的真子集，也就是说，这时康托的上述定理不能成立。

通过对以上两种情况的分析，康托的定理都不能成立，因此，康托集合论就是错误的理论。因为上述分析的结果是根据超实函数的理论得出的，因此我们把上述分析的结果叫作康托集合论的错误的间接证据。

三、康托集合论的错误的间接证据之二

康托是依靠一一对应的方法来研究两个无穷集合之间的关系的。所依靠的理论基础就是两个集合间一一对应的定义。为了从理论的高度来认识康托的上述定义是错误的，现在将上述定义引述如下：

定义 如果存在函数y=f（x）为集合A的一个双射函数，则集合A和B为一一对应的关系。

我在“数学大世界”杂志2017年5月上发表的论文“康托集合论为什么是错误的理论”一文中已经指出，在y=x的条件下，[0，1]和[0，2]是非一一对应的关系，而在y=2x的条件下，则[0，1]和[0，2]为一一对应的关系。根据康托的观点，这时[0，1]和[0，2]为两个实数点的集合，因此，它们不可能在一种条件下为一一对应的关系，而在另外一种条件下就为非一一对应的关系。针对上述情况可以认为，使用实函数是不可能正确判断两个实数点的集合是一一对应的关系，还是非一一对应的关系，或者说，针对上述的情况，可以认为康托的两个集合间一一对应的定义是错误的。下面我们根据超实函数的理论来进一步认识康托的上述的两个集合间一一对应的定义为什么是错误的。

根据超实函数的理论的重要公式dy=f（x+dx）-f（x），对于[0，1]和[0，2]，在y=x的条件下，dy=dx，令dy=dx=q，在这里，q为一个确定的无穷小量。在上述条件下，函数y=x已经决定了[0，1]和[0，2]上点的性质，并且也决定了两个集合间点的性质之间的关系，在y=x的条件下，两个集合的点的性质是相等的关系，根据超实函数理论的公式dy=f（x+dx）-f（x），在y=2x的条件下，则dy=2dx，这时，[0，1]和[0，2]上的点的性质则是不相等的关系。从以上分析可以知道，对于[0，1]和[0，2]在某个确定的函数y=f（x）的条件下，这个函数不仅决定了[0，1]和[0，2]上的点的性质，而且也决定了[0，1]和[0，2]之间的点的性质之间的关系，在不同的函数的条件下，上述两个集合的点的性质是不同的，而且它们的性质之间的关系也不同。

要正确地判断两个集合是否为一一对应的关系，判断的工具就不能决定或者改变判断对象的性质。而康托的两个集合间一一对应的定义，由于使用了实函数，就决定了或者改变了对象的性质，因此，康托的两个集合间一一对应的定义，在上述情况下不可能正确地判断两个集合是否为一一对应的关系，因此，在上述条件下，康托的两个集合间一一对应的定义就是错误的。而康托集合论的上述重要定理就是根据这个错误的定义证明的，因此康托集合论的上述重要定理的证明就不能成立，则康托集合论也就是错误的理论。这种间接的证据是在理论的高度上更深入地认识了康托集合论的错误的本质所在。