常微分方程求解中常数变易法的应用研究

江苏联合职业技术学校无锡交通分院 许莹霞

方程是数学学科中的重要内容，从初中开始，学生就开始接触各种各样的方程，如对数方程、线性方程、三角方程等，这些方程均是将需要进行研究的问题按照已知数与未知数之间的关系来建立方程式，通过对方程式的求解来达到解决问题的目的。但在实际生活当中，也同样有一些方程与其他方程有所不同，其与实际生活有着密切的联系，是根据现有数据来对相应的函数解析式进行求解的，而常微分方程便是这类方程之一，随着常微分方程理论的不断完善，通过常微分方程能够对事物的变化规律进行精确的表述，而在对常微分进行求解时，常数变易法无疑是其中最为重要的求解方法。为此，有必要对常微分方程求解中常数变易法的相关应用进行研究。

一、常数变易法简介

常数变易法是求解常微分方程的有效方法，这也使其在实际应用中得到了广泛的使用。常数变易法是将常微分方程中的常系数进行替换，进而使其成为待定函数，由该函数来求出常微分方程的解。其除了能够对常微分方程中的一阶线性微分方程求解以外，在其他一阶非线性及二阶线性常微分方程中也经常能够被用到。但如何利用常数变易法对其进行求解呢？为此，以下便对常数变易法在常微分方程求解中的具体应用进行研究。

二、常微分方程求解中常数变易法的应用研究

1.常数变易法在一阶非线性微分方程求解中的应用

贝努利方程是较为典型的一阶非线性微分方程，在对贝努利方程进行求解时，需要对该方程进行转化，使其成为相应的线性方程，在线性方程转化完毕后，便可以依据线性方程中的相关求解方法来进行解决，当然，也可以通过常数变易法进行解决，而且能够达到事半功倍的效果。从贝努利方程的内容来看，要想应用常数变易法，应对贝努利方程中相对应的齐次线性方程进行明确，在明确齐次线性方程以后，便可对其进行转换，进而求出贝努利方程的通解。例如：已知方程为，该方程便是一阶非线性微分方程，在对该方程进行求解时，可依据常数变易法将其进行转化，使其成为可分离的变量方程，然后再对其进行求解。利用常数变易法可求出该方程所对应的齐次方程，即然后可求出其通解为y=cx，在该方程中将y(x)进行代入计算，由此可以得出进一步转化可以得出然后通过两边积分的方法将v（x）求出，并代入y=v（x）中，由此便可求得该方程的解。

2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程求解中的应用

二阶常系数线性方程也是常微分方程中的一种，在应用常数变易法来对这类方程进行求解时，具备非常良好的应用效果，它不需要求出非齐方程的特定解，只需通过常数变易法对其中一个与之相关的齐次方程进行解组，就能够实现对这类方程的求解，从而获得相应的通解公式。在二阶常系数非齐次线性微分方程中，其方程为由该方程可以获得与之相对应的齐次方程，即从该方程中可以获得其特征方程，即在该方程中，需要对其复根与实根进行分别分析，第一种情况是当该特征方程中的s为实根时，则可以知道其对应齐次方程中的一个解是根据常数变易法的解决思路，可以将二阶常系数非齐次线性微分方程的解进行设定，使其设定为通过对该解进行求导，可以得出相应解的推导方程，将该推导方程与代入该二阶常系数非齐次线性微分方程当中，然后进行化简，由此便可以得出该方程便可作为 的一阶线性方程，进而可以得出其通解为根据该一阶线性方程的通解，便可以得到该二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式，即

3.常数变易法在二阶变系数齐次线性微分方程求解中的应用

在常微分方程中，常数变易法在二阶变系数齐次线性微分方程的求解中也同样有所应用，在对二阶变系数齐次线性微分方程进行求解时，需要根据其特征方程来求出其特解，并根据求出的特解进一步求得通解。不过，由于二阶变系数齐次线性方程内部的系数是一种变量，该变量使该方程难以利用特征方程进行求解，因此必须要通过常数变

本文对常数变易法进行了简要的介绍，在此基础上对常数变易法在常微分方程求解中的相关应用进行了探讨，明确了常数变易法在常微分方程求解中的具体思路，进而为学生解决常微分方程问题提供了高效的求解方法，使学生能够通过常数变易法的应用，更加精确地表述事物在变化过程中遵循的基本规律。