关于数学解题中逆向思维的应用

陕西省延安大学数学与计算机科学学院 田 星

在数学解题中，我们经常会遇到利用常规思维解题而陷入思维定式中难以得到问题答案的现象。但如果我们“反其道而思之”，从问题的对立面进行深入思考，使问题简单明了，进而有利于我们解题。

在教育心理学中，逆向思维就是挑战常规，克服思维定式，打破我们日常的思维经验和习惯造成的僵化的认识模式，得出的结果则会使我们豁然开朗。逆向思维体现在生活的方方面面，在我们的日常学习及生活中利用逆向思维解决问题经常会以“出奇”达到“制胜”，结果常常出人意料，喜出望外，别有所得。

数学家们在探索数学的过程中便有许多利用逆向思维成功的例子，本文列举出了运用逆向思维的几种具体方法在数学中的应用，如：逆向分析法、反例法、构造辅助函数、倒推法、求补法、排除法，解决一些在中学数学中的问题，挑战常规，打破思维定式，拓展思维，并学会使用逆向思维更加容易地解决问题。

一、反证法

反证法是常见的利用逆向思维的论证方式，是“间接证明法”的一类，常被用于证明题中。其解题过程一般为当证明所给的数学猜想或命题遇到困难时，便会在原命题的题设下假设结论不成立，然后推出明显矛盾的结果，从而使原命题得证。

二、逆向分析法

逆向分析法是一种执果索因的分析方法，是一个由需要逐步推向已知结果的过程。在日常解题中，当我们遇到一些难题，如果从题目所给的条件出发逐渐求出结论的过程可能复杂且困难，不易直接证明结论，但若反其道而行之，对题目从结果出发，进行反方向的分析、分解与重构，并分析每一种可能，则会降低难度，从而便于求出正确答案。该方法的一般顺序为从果到因进行分析，逐步求出与条件相符的答案。

三、逆用定义法

在中学几何题中，有非常多的可逆的定义定理，在我们日常解题中，对原有的数学定义定理逆用也是一种常见的解题方法，利用逆向思维对相关定义定理进行逆用，便可使一些问题化难为易，从而提高解题效率，也能更好地开拓我们的数学思维。

四、构造辅助函数法

在证明一些存在性命题与解决代数问题时往往需要构造辅助函数，但有时辅助函数并不好找，所以我们就需要将构造辅助函数与逆向思维联系起来，从具有特征的结论入手进行逆向分析与推理，便可很快找出辅助函数，该方法是一种简单、适用、易掌握且有效的数学解题方法，在解题时我们只需找到符合要求的辅助函数问题便迎刃而解。

五、求补法

求补法，即正难则反，当所求问题比较复杂或者直接解题较为困难时，可以考虑在与原题所给条件相反的情况下求解，最后只需取其所得结果的反面即可。比如求大于零的空集，可以用小于零的非空集合来考虑。此处介绍该方法用于概率论中求某事发生的概率时，当所求事件发生的概率较难求时，则可以考虑先求出所求事件的对立事件的概率，化难为易，更易于求出答案。

六、排除法

排除法是数学运算时常用的方法之一，尤其是在选择题中有着广泛的应用，其应用更是层出比穷，在一些重要考试中是需要重点掌握的方法，是逆向思维中“正难则反”数学思想的一个重要应用。日常学习中应学会巧妙使用取特殊例子排除错误选项，加快解题效率。学会使用一些解题技巧，化难为易，在考试时更有效、准确地解出答案，亦为在有限的考试时间中提供一种有效的解题技巧。

逆向思维在数学方方面面都存在着应用，在我们的日常学习中，逆向思维不仅可以帮助我们解决思维定式化难为易，快速有效地解决一些难题，而且经常使用逆向思维解决问题可以开拓学生思维，提高数学素质，使学生减少继而消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，让学生的头脑更加灵活，并且也可以培养学生全面思考问题的思维习惯，逐渐形成较高的数学素养。就一些中学中常用的解题方法着手，利用逆向思维反向思考，使一些原本看似难以解决的问题变得简单明了化。拓展解题思维，以便在解一些难题时能够活题活用，找到最佳的解题方法。本文将逆向思维在数学的多个方面进行了探讨，详细叙述了应用逆向思维时的具体方法理论，使学生学习时将问题简易化，并有利于学生提高解题效率与数学能力。