邻近强干扰下波达方向的梯度下降估计算法＊

2018-11-29侍昌发

航天电子对抗 2018年5期

侍昌发，李辉

（中国科学院无线光电通信重点实验室，中国科学技术大学信息科学技术学院，安徽合肥230026）

0 引言

阵列信号处理是信号处理领域的重要分支，在雷达、通信、射电天文以及生物医学工程等领域有广泛应用，波达方向（DOA）估计［1］作为阵列信号处理中的一个关键问题，一直受到广泛关注。常规的DOA估计问题中，阵列接收的各信号源功率相当，多重信号分类（MUSIC）空间谱估计方法［2］突破瑞利限，实现了对来波方向的高分辨率估计。然而在一些特殊场景中，目标信号的DOA估计极易受到邻近强干扰信号的影响，尤其当目标信号与干扰信号的来波方向相距小于半波瓣宽度时，MUSIC类子空间分解处理等传统算法难以对目标信号的DOA进行有效估计。

针对强干扰下目标信号的来波方向估计问题，在强干扰信号方位信息未知的情况下，Li等人提出的RELAX 算法［3－5］和 Tsao等人提出的 CLEAN 算法［6］将阵列接收到的信号分离为多路数据块，根据每路数据块中包含的入射信号信息得到各个入射信号的波达方向估计。上述2种算法都需要迭代计算和搜索处理，运算复杂度非常高，尤其是存在多个信号且信号方位间隔较小时，RELAX算法收敛速度慢。陈辉、苏海军提出一种干扰阻塞算法，也就是JJM算法［7］，利用已知的干扰方位信息构造阻塞变换矩阵，通过对阵列输出数据进行处理实现对干扰抑制，然后利用空间谱算法对目标信号进行DOA估计。JJM算法的估计性能较好，但该算法只适用于均匀线阵，并且需要已知强干扰信号的波达方向信息。文献［8］通过构造扩展的噪声子空间，利用MUSIC方法有效抑制干扰，得到弱信号的DOA的准确估计。该算法无需已知强干扰信号的方向信息，且运算量与MUSIC方法相当。以上方法的主要思想都是先利用阵列信号处理方法抑制强干扰信号，然后利用MUSIC等常规方法来对弱目标信号进行DOA估计。本文将利用斜投影技术，设计梯度下降方法迭代估计强干扰信号和目标信号的波达方向。

斜投影是一种特殊的投影方法，常被用于干扰抑制和信号分解。文献［9］提出一种基于空间斜投影的宽带波达方向估计算法，利用斜投影［10－14］技术分离不同的相干组信号，解决了宽带多相干组信号条件下传统聚焦类算法性能下降的问题。文献［15］针对来波信号功率不同情形下的DOA估计问题，构建广义斜投影算子自适应抑制接收数据中的非期望信号，平衡强弱信号的空间谱峰，再以MUSIC方法对目标信号进行DOA估计。该算法对弱信号的DOA估计具有高分辨率与强鲁棒性的特点，但运算复杂度较高。

在一些应用场景如雷达对抗、通信对抗中，若待估计目标信号部分先验知识如相关特性已知，则这些信息可以用于干扰信号与目标信号波达方向的联合估计，从而提高目标信号的DOA估计性能。针对这些场景，本文将斜投影的思想用于分离非正交的干扰信号与目标信号，基于干扰信号与目标信号的功率差异和目标信号的相关特性，利用梯度下降方法实现一种低复杂度的DOA迭代估计算法。该算法可以在干扰信号DOA信息未知的情况下，完成邻近强干扰下的目标信号DOA估计。

1 问题模型

为了简化天线阵列分析，本文假设各信源信号为远场窄带信号，互相独立；接收端噪声为统计独立的复高斯随机过程，与信源独立；信号数目小于天线阵元数目；忽略阵元之间的互耦。

假设天线阵由M 个全向天线组成，远场存在N（N＜M）个信号源，整个天线阵列接收到的快拍数据为［16］：

式中，X为M×K 维复矩阵，是K 个快拍采样下阵列接收到的M 路复信号矢量；A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θN）］为M×N 维阵列流形矩阵，a（θn）是波达方向为θn的第n个来波信号导向矢量（n＝1，2，…，N）；Z为N×K维复矢量，是N 个来波信号的复矢量；Q为M×K维观测噪声复矢量。

上述模型中，来波中的目标信号在一些特殊场景中往往已知一些先验信息，如雷达对抗场景下的雷达信号DOA估计。接收到的雷达信号波形由于经过传播路径和目标反射已经有了幅度和相位上的改变，但接收信号与发射信号间的相关特性依然被保留下来，可以作为先验信息。本文在已知阵列形式以及目标信号相关信息的条件下，就式的模型展开讨论，对目标信号的来波方向进行估计。

2 斜投影方法

式中，AH表示矩阵A的共轭转置；是以Range（B）的正交补空间为值空间的正交投影：

类似的可以定义以Range（B）为值空间且零空间包含Range（A）的斜投影算子为EBA。与正交投影算子相比，斜投影算子满足幂等特性，但不一定满足复共轭对称特性。

斜投影算子EAB有如下特性：

3 邻近强干扰下的波达方向估计

投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换，正交投影是指值空间与零空间相互正交的投影。在阵列信号处理中，通常情况下信号与干扰之间夹角较大，多维空间中可以认为它们是近似正交的，利用正交投影就可以得到目标信号的精确估计。而在某些场景中干扰信号与目标信号之间夹角很小，两者之间的正交性假设不再成立，正交投影下的估计性能下降；不同于正交投影，斜投影的值空间与零空间可以是非正交的，因此可以用于分离夹角很小的干扰信号与目标信号。

令行数相同的满秩矩阵A和B分别张成子空间Range（A）和子空间Range（B）。矩阵［A B］列满秩，且矩阵A和B张成的子空间不相交，即Range（A）∩Range（B）＝，定义以Range（A）为值空间，且零空间包含 Range（B）的斜投影算子为［17］：

本文研究的场景中，干扰信号与目标信号波达方向夹角小，两者之间的功率差大，目标信号的相关特性已知。首先假设目标信号和干扰信号的来波方向已知，给出利用斜投影分离干扰信号和目标信号的方法，然后利用功率信息和相关信息构建干扰信号和目标信号DOA估计的迭代算法。

3.1 目标信号和干扰信号的分离

为不失一般性，首先研究一组邻近强干扰信号与目标信号的分离问题，此时2个信号的波达方向相距较近（夹角Δθ小于波瓣宽度φ的一半），可以将问题模型简化为：

式中，X为M×K 维阵列接收信号复矢量；z1、z2为1×K维复矢量，分别表示目标信号与干扰信号；h、s为M×1维复矢量，分别表示目标信号与干扰信号的导向矢量，其中包含目标信号与干扰信号的波达方向信息，若目标信号与干扰信号的波达方向估计分别为和，则可计算分别为＝a）和＝a）；Q为M×K维噪声复矢量，考虑K个快拍采样。

将式（7）模型与斜投影方法结合，构造以目标信号导向矢量张成的子空间Range（h）为值空间，零空间包含干扰导向矢量张成的子空间Range（s）的斜投影算子：

式中，h表示矩阵h的伪逆。类似的，可以得到以斜投影算子Esh表示的干扰信号的估计为：

3.2 干扰信号和目标信号的DOA估计

在干扰信号和目标信号方向未知的情况下，首先利用干扰信号与目标信号的大功率差特性，估计干扰信号的来波方向，然后利用斜投影在干扰信号的零空间上估计目标信号的来波方向，如此反复迭代依次估计干扰信号和目标信号的来波方向，最终得到目标信号DOA估计。

在获得干扰信号的DOA估计后，利用斜投影算子可以在干扰信号的零空间中搜索目标信号的来波方向。根据已知的目标信号的相关特性，可以构造一个与之高度相关的参考信号r。在目标信号入射角度范围区间中，根据干扰信号DOA估计值＾θ2和一组待搜索的目标信号方向，通过式（8）构造一组斜投影算子，并根据式（9）得到目标信号的估计，将其与参考信号r做相关计算（如相关系数等），当估计值与真实值θ1相同时，斜投影算子的值空间与目标信号导向矢量张成的子空间一致，目标信号估计性能最好，相关系数达到最大。因此，当目标信号估计与参考信号的相关性最大时，对应的即为目标信号来波方向的精确估计。

根据上述思想，可以使用角度搜索的方法实现上述算法：

首先根据MUSIC算法，以step1为步长粗略估计干扰信号的来波方向为，然后以干扰信号 DOA估计精度值为步长使遍历［－2step1，＋2step1］，得到干扰信号DOA估计值；以step2为步长使遍历－φ＋φ］得到目标信号 DOA 估计值）。

3.3 梯度下降算法

角度搜索方法实现简单，但复杂度较高，针对其计算复杂度高的缺点，本节使用梯度下降方法实现3.2节中的DOA估计算法。将干扰信号和目标信号的DOA估计建模为下面的优化问题：

式中，d 为阵元间距，λ 为入射信号波长，v＝［0，1，2，...，M－1］T。式（11）中的目标函数可以写为：

求解式（15）在θ2处的梯度：

式中，

式中，η2为更新步长，梯度sgn（f2（θ2））的符号确定调整方向。仿真实验表明可以快速收敛到最优值，当其经过最优点时，相邻迭代间的差值会改变符号，即，此时干扰信号的DOA估计达到最优。

以相关系数作为信号之间相关性计算函数，为方便梯度求解，式（12）中以相关系数的模平方作为目标函数，根据相关系数的求解方式可以将式（12）改写为：

式中，cov（x，y）表示x 与y 的协方差，var（x）表示x的方差，（x）＊表示x 的共轭，q＝hEhsX。求解式（22）在θ1处的梯度：

式（23）中的d q／dθ1展开为下面的形式：

对于目标信号DOA估计值＾θ1采用标准梯度下降算法迭代更新，即：

2）由式（21）更新＾θ2（k2）；

4 仿真实验

本文针对以下场景进行仿真实验：线性调频信号（目标信号）与高斯信号（强干扰）入射到均匀线阵，在

首先讨论本文算法的可区分角度间隔下界及不同算法中目标信号与干扰信号的角度间隔对算法性能的影响，给出基本仿真参数：阵元数为16，阵元间距为半波长，信干比SIR＝－40dB，信噪比SNR＝10dB，快拍数K＝800，目标信号1的入射角度为2°，目标信号2的入射角度为20°，干扰信号的入射角度以不同的间隔分别取为（2.5°，2.6°，2.7°，2.8°，2.9°，3°，3.5°，…，9.5°，10°），即干扰信号与目标信号之间的角度间隔为（0.5°，0.6°，0.7°，0.8°，0.9°，1°，1.5°，…，7.5°，8°）。图1给出不同算法在不同角度间隔下多目标信号DOA估计性能，随着角度间隔减小，三种算法中邻近干扰信号的目标信号1的DOA估计性能降低，而目标信号2的DOA估计精度更高，并且性能保持不变。当RMSE值大于角度间隔，可以认为算法难以区分目标信号与干扰信号，由图1中可以看出0.8°约为本文算法可区分目标信号与干扰信号的角度间隔下界，而另2种算法在小角度间隔情况下估计性能较差。由于目标信号2的DOA估计性能基本不受角度间隔影响，下面主要针对邻近干扰信号的目标信号1进行DOA估计性能的仿真实验与讨论。从图1中可以发现，随着角度间隔增大，三种算法的估计性能越来越好。分析可知，随着夹角增大，强干扰信号对邻近的目标信号的影响逐渐减小，对于本文算法，目标信号估计中干扰信号的残留减少，目标信号估计与参考信号的相关性计算结果更好；MUSIC算法中干扰信号谱峰对目标信号谱峰的压制影响减小；RELAX算法每次迭代过程中强干扰信号对目标信号波形估计影响减小，目标信号DOA估计性能提高。其次，在夹角小于4°（约为该天线阵列波瓣宽度的1／2）时，本文算法对目标信号的估计性能明显优于MUSIC算法和RELAX算法，MUSIC算法基本失去对目标信号的DOA估计能力，RELAX算法可以对目标信号DOA进行估计，但效果一般；在夹角较大时，本文算法与MUSIC算法对目标信号的估计性能相当，略优于RELAX算法的估计性能。背景噪声的影响下接收到混合信号。仿真中采用多次蒙特卡罗实验结果所得的均方根误差来评定算法的性能，由于对强干扰波达方向可以实现高分辨率估计，本文主要分析弱目标信号的DOA估计结果。波达方向的均方根误差（RMSE）定义为：

图1 目标信号DOA估计性能随角度间隔变化曲线

接下来讨论信噪比对算法性能的影响，给出基本仿真参数：阵元数为16，阵元间距为半波长，信干比SIR取－20dB和－40dB，快拍数K＝800，角度间隔Δθ＝4°，信噪比SNR取0～20dB。需要说明的是，这里设置角度间隔为4°，可以保证MUSIC算法对目标信号的DOA进行有效估计。图2给出不同信干比情况下目标信号DOA估计性能随信噪比变化曲线图，从图2中可以发现，在不同信干比情况下，随着信噪比的增大，三种算法的性能都会提高，其中MUSIC算法的增长幅度最为显著。其次，在该场景中设置性能要求曲线（RMSE＝1°），发现三种算法满足性能要求的最低信噪比分别约为2dB、6dB和10dB，本文所提算法对信噪比要求最低，MUSIC算法对信噪比的要求最高，其中RELAX算法对信噪比的要求随着信干比增大有略微的降低。当信噪比小于12dB时，本文算法对目标信号的DOA估计性能是最优的。

图2 目标信号DOA估计性能随信噪比变化曲线

最后讨论信干比对算法性能的影响，给出基本仿真参数：阵元数为16，阵元间距为半波长，信噪比SNR取10dB和20dB，快拍数K＝800，角度间隔Δθ＝4°，信干比SIR取－40～－20dB。图3给出不同信噪比情况下目标信号DOA估计性能随信干比变化曲线图，从图3中可以发现，在不同的信噪比情况下，本文研究的问题场景中信干比对本文算法与MUSIC算法的目标信号的DOA估计性能影响不大，随着信干比增大算法性能在小范围内波动，且估计性能优于RELAX算法；而RELAX算法对信干比敏感，在信干比较低时目标信号的DOA估计性能较差。

图3 目标信号DOA估计性能随信干比变化曲线

实验中还对本文提出的梯度下降算法与MUSIC算法的运算量进行了比较，由于乘法运算量远大于加法，因此这里只考虑乘法运算。对于M 个阵元，进行K次快拍积累的场景，两者均存在的特征分解部分相同，且特征分解部分相比于迭代过程的运算量较少，因此不做考虑。MUSIC算法的谱峰搜索，范围为［－90°，90°］，每步乘法次数均约为2 M2，在搜索步长为1／I度（保证精度要求，I≥100）的情况下，总运算量为360 M2I。而梯度下降算法分为干扰信号与目标信的迭代估计，每次迭代的乘法次数为2 MK＋M3＋10 M2、2 MK＋M3＋9 M2＋5 K，平均迭代次数分别为25和15，总运算量为80 MK＋40 M3＋385 M2＋75 K。

图4给出阵元数为16时运算复杂度随快拍数变化曲线图，图5给出快拍数为800时运算复杂度随阵元数变化曲线图。从图4、图5中可以发现，本文算法的运算复杂度随快拍数和阵元数增大而变高；MUSIC算法的运算复杂度随快拍数增大保持不变，随阵元数增大而变高，且通过对比可以发现本文的梯度下降算法的运算复杂度远小于MUSIC算法。