利用导数求参数取值的一道高考题剖析

■河南省信阳高级中学 郭宏彬

利用导数研究含参函数的性质(单调性、零点、极值、最值等),以及利用含参函数的性质求参数的取值范围是近几年高考的热点。通过判断导数的正负确定函数的增减,寻找与函数的极值、最值、零点个数等的对应关系是解题的关键。本文通过对2 0 1 8年的一道高考题进行一题多解、一题多变的详细剖析,希望对同学们的学习能有所帮助。

一、题目及分析

例题 (2 0 1 8年全国卷Ⅱ理2 1)已知函数f(x)=ex-a x2。

(Ⅰ)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,求a。

分析：(Ⅰ)常规思路是求导,无法求解时二次求导,利用导数求解问题时注意导函数的正负对应着导函数的增减,导函数的增减对应着二阶导函数的正负。一般导函数的正负无法判断时可以利用二阶导数求导函数的增减情况及最大(小)值,进而比较导函数值的正负情况,最后确定原函数的增减情况。(Ⅱ)确定原函数的增减情况,再结合极值利用零点存在定理和零点唯一存在定理讨论函数的零点个数。

二、一题多解

(Ⅰ)方法一:当a=1时,f(x)=exx2,f'(x)=ex-2x,令f″(x)=ex-2=0,得x=l n2,即x＞l n2时f'(x)为增函数,x＜l n2时f'(x)为减函数,所以x=l n2时,f'(x)min=2-2 l n2＞0,所以原函数为R上的增函数,即当x≥0时,f(x)≥f(0)=1。

方法二:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0。

令g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x。

当x≠1时,g'(x)＜0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减。

而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1。

方法三:当a=1时,即证,当x≥0时,f(x)=ex-x2≥1,由于f'(x)=ex-2x≥ex-2x＞0(因为x≥1时ex-1≥x且0≤x＜1时ex-1≥x),所以原函数为R上的增函数,即当x≥0时,f(x)≥f(0)=1。

(Ⅱ)方法一:当a≤0时,f'(x)=ex-2a x≥ex-2a x≥0,此时f(x)≥f(0)=1恒成立,即f(x)在0,+∞()上无零点,当a＞0时,f(x)在0,+∞()上只有一个零点的必要条件为f(x)=ex-a x2=0有且只有一根,图像相切,则可得在0,+∞()上有且只有可知

方法二:构造函数h(x)=1-a x2e-x。

(1)当a≤0时,h(x)＞0,h(x)没有零点;

(2)当a＞0时,h'(x)=a x(x-2)e-x。

当x∈(0,2)时,h'(x)＜0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增。

由(Ⅰ)知,当x＞0时,ex＞x2。

故h(x)在(2,4a)上有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点。

方法三:当a≤0时,f'(x)=ex-2a x≥ex-2a x≥0,此时f(x)≥f(0)=1恒成立,即f(x)在0,+∞()上无零点。

当a＞0时,f(x)在0,+∞()上只有一个零点的必要条件为f(x)=ex-a x2=0有有且只有一根。

点评:本题重点考查了导数的应用,紧紧围绕导数的正负与原函数的增减对应关系处理此类问题才不容易出错。灵活把握导数为零与函数极值最值之间的关系,正确合理地应用分类讨论、等价转换、分离参数等思想方法是求解此类问题的关键所在。

三、一题多变

变式1 试讨论函数f(x)=ex-a x的零点个数。

解析：(1)当a＜0时,f'(x)=ex-a＞0,f(x)单调递增,且f(0)=1-a＞0,以此时f(x)有且只有一个零点在区

(2)当a=0时,f(x)=ex恒大于0,函数f(x)无零点。

(3)当0＜a＜e时,f(x)min=f(l na)=a(a-2 l na)＞0,函数f(x)无零点。

点评:本题随着a的变化详细地讨论了函数的零点个数,要想很好地根据零点的个数求参数的取值范围,可以在平时做题中对参数变化时零点的变化情况多加对比分析。

变式2 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围。

解析：(1)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,则f'x()=2ae2x+a-2( )ex-1=

①当a≤0时,aex-1＜0,2 ex+1＞0。从而f'x()＜0恒成立。f x()在R上单调递减。

②当a＞0时,令f'x()=0,从而aex-1=0,得x=-l na。f(x)在(-∞,-l na)上单调递减,在(-l na,+∞)上单调递增。

综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a＞0时,f(x)在(-∞,-l na)上单调递减,在(-l na,+∞)上单调递增。

(2)由(1)知,当a≤0时,f x()在R上单调递减,故f x()在R上至多有一个零点,不满足条件。当a＞0时,f(x)min=g a()在0,+∞()上单调递增。而g1()=0,故当0＜a＜1时,g a()＜0。当a=1时,g a()=0。当a＞1时,g a()＞0。

点评:同一个知识点,高考常考常新。对于含参数的导数问题,需要对参数的取值进行合理的分类,需要着重分析随着参数的变化,导函数的正负变化情况。仔细挖掘高考题所要考查的知识点,培养自己分析问题和解决问题的能力。

四、小结

有关导数的问题,在近几年的全国高考题中都作为压轴题出现,难度较大。通过上面的分析,不管是判断零点的个数还是求参数的取值范围,所涉及的知识无非就是函数的零点存在定理、零点唯一存在定理及等价转化思想等,先把函数零点问题恰当地转化为方程f(x)=0或f(x)=m的根的个数问题,再利用导数画出y=f(x)及y=0(y=m)的图像,判断两个函数图像的交点,进而求出零点的个数或参数的取值范围。