两道导数试题的解法对比

2018-11-29河南省信阳市第六高级中学余运虎

中学生数理化(高中版.高考数学) 2018年9期

■河南省信阳市第六高级中学余运虎

导数是高考考查的热点问题,一般通过利用导数研究函数的单调性、极值、最值来研究参数的范围,对于一些更难求解的问题则需要构造新函数来研究导函数,进而确定函数的相关性质。本文对两道相关试题的不同解法进行分析,以便从一题多解的比较中给大家呈现问题。

一、题目呈现及解析

例1 已知函数f(x)=xe-x。

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)已知函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x＞1时,f(x)＞g(x);

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2＞2。

分析：先利用导数求函数的单调区间和极值,然后由对称性求g(x)的解析式,构造函数h(x)=f(x)-g(x),再由单调性判断h(x)的正负。第(3)问是第(2)问的延续,这也是此题的巧妙之处。由f(x)的图像特点判断x1,x2位于1的两侧,则x2与2-x1位于同一个单调区间内,进而由函数值的大小判断自变量的大小。也可化x1、x2两个量为一个量,进而求函数的最值。

解：(1)由题知f'(x)=e-x(1-x),则f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上

(2)由对称性可知g(x)=f(2-x),构造函数h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(2-x),其中x＞1,则h'(x)=f'(x)-f'(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)(ex-2-e-x),当x＞1时,x-1＞0,ex-2-e-x＞0,所以h'(x)＞0,则h(x)在(1,+∞)上单调递增,故h(x)＞h(1)=0,即f(x)＞g(x)。

(3)方法一:由x1≠x2,f(x1)=f(x2)且在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。可设x1＜1＜x2,所以f(x2)＞f(2-x2)。又由f(x1)=f(x2)得f(x1)＞f(2-x2),又因为x1＜1,2-x2＜1,f(x)在(-∞,1)上单调递增,所以x1＞2-x2,即x1+x2＞2。

方法二:由x1≠x2,f(x1)=f(x2)且在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。可设x1＜1＜x2,由f(x1)=f(x2)得x1e-x1=x2e-x2,两边同时取对数得l nx1-g(t)＞g(1)=0,得证。

点评:该题由易到难,层层递进,环环相扣,题面简洁,思想丰富。本题的亮点在于如何利用第(2)问的结论解决第(3)问,如果没有第(2)问,方法一是不太好想的,巧妙利用对称构造新函数,把不在同一个单调区间的x1,x2转化到同一个单调区间,进而利用单调性比较大小;而在方法二的思路中关键是怎样将两个量用一个量把x1+x2表示出来,再利用关于这个量的函数求x1+x2的最值与2的大小关系,此种方法的关键是合理地代换消元,化两个变量为一个变量。

二、相似试题比较

例2 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2＜2。

分析：首先,含有两个零点的连续函数的图像可能是二次型的(极大值为正或极小值为负)或者三次型的(极大值或极小值同号)。第(Ⅱ)问的结论跨度相对较大,其实通过第(Ⅰ)问判断了函数的单调减区间为(-∞,1),单调增区间为(1,+∞),可构造函数g x()=f2-x( ),它与f x()关于x=1对称,进而利用单调性的定义比较大小。

解：(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

(1)若a=0,f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点。

(2)若a＞0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)＜0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0。故f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。又f(1)=-e,f(2)=a,取b个零点。

综上,a的取值范围为(0,+∞)。

(Ⅱ)方法一:不妨设x1＜x2,由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),则2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上单调递减。

构造函数h(x)=f(x)-f(2-x),则h'(x)=f'(x)-f'(2-x)=(x-1)(ex+2a)+(1-x)(e2-x+2a)=(x-1)(exe2-x)。所以当x＞1时,h'(x)＜0,而h(1)=0,故当x＞1时,h(x)＜0。所以h(x1)=h(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

方法二:由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0可得a(x-1)2=(2-x)ex,取对数得l na+2 l n(x-1)=l n(2-x)+x,即l na=l n(2-x)+x-2 l n(x-1)。由f(x1)=f(x2)=0得l na=l n(2-x1)+x1-2 l n(x1-1)=l n(2-x2)+x2-2 l n(x2-1),此时令……

点评:对于第(Ⅱ)问,方法一的对称构造相对来说较难思考;方法二在化两个量为一个量时遇到了阻力。我们在找通式通法的时候也不要忘记没有任何一种方法是万能的,只有界定好其使用的条件及需要注意的问题,才能更好地应用。多掌握几种方法,通过一题多解、一题多变来界定各种方法的适用范围才能更好地解题。