对不满足“基本不等式”条件的最值问题的解法探究

■河南省潢川第一中学高三(11)班 程 曦

一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值

例1求函数的最值。

分析：因2x,,不一定是正值,故需先将其转化为正值。

解：当x＞0时,=1-。

当x＜0时,y=1-2x-=1+(-2x)+。

综上所述,当x＞0时,时,函数y=1-2x-的最大值为;当x＜0时,x=时,函数y=1-2x-的最小值为。

点评：基本不等式的两个变量都必须是正实数。如果两个变量异号或同为负实数,那么不等式要么不成立,要么不等号的方向会改变。

变式训练：已知x＜0,求函数3x的最大值。

解：因为x＜0,所以-x＞0

故y≤-12,当且仅当,即x=-2时,等号成立。

故当x＜0时,函数的最大值为-12。

二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件

1.求和的最值,而积不为定值

例2已知x＞-1,求函数y=2x+的最小值。

分析：要积为定值,必须要去掉分母中的2x+3,故需把2x变形为(2x+3)-3。

解：由题意知,y=2x+=(2x+3)+。

x＞-1,故2x+3＞0,(2x+3)+

故y≥1,当且仅当2x+3=,即x=-时,等号成立。

故当x＞-1时,函数3x的最小值为1。

变式训练：已知a、b、x、y都是正数,且,求x+y的最小值。

解：x+y=

2.求积的最值,而和不为定值

例3已知,求函数(1-3x)的最大值。

分析：由题意可知x,1-3x均为正数,但x2,1-3x的和不是定值,故需将(1-3x)进行适当变形,构造定值。

解：

点评：在利用“均值不等式”求最值时,若不具备“定值”条件,需将其构造成定值条件,并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数使之满足均值不等式的条件。

三、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求最值

例4已知0＜x≤1,求函数的最小值。

分析：若直接利用基本不等式,则有y=,当x=2时,等号成立。而2∉(0,1],所以等号不成立。

解：因为在x∈(0,2]上为减函数,所以函数在x∈(0,1]上为减函数。

因此,当x=1时,函数取得最小值ymin=1+4=5。

变式训练：已知x∈(0,π),求y=的最小值。

解：令t=sinx(0＜t≤1),则易得y=,y在t∈(0,1]上是减函数。

故当t=1,即时,ymin=10。

四、最值问题的其他处理方法

例5已知a＞b＞0,求的最小值。

分析：本题若直接利用均值不等式,即使通过变形,也很难保证其积为定值,可先求的最小值,连续两次用均值不等式。

解：因为a＞b＞0,所以a-b＞0。故b(a-b

点评：第一次用均值不等式求分母最值时,达到了化简分母的目的,同时具备第二次使用基本不等式的“相等”条件,也具备第一次的“相等”条件。连续两次使用基本不等式求最值时,应注意两次“相等”必须一致,否则就会出错。