为数学点赞
——名师例析数学文化(9)不等式
2018-12-10北京市第十二中学高中部高慧明
■北京市第十二中学高中部 高慧明
■北京市教育学院丰台分院 张 琦
本刊特邀栏目专家简介：
高慧明首届全国十佳班主任,全国著名数学特级教师,国家教育部课程改革“全国先进工作者”,全国著名高考数学命题与考试研究专家,国家教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家,受邀在全国各地做有关高考科学备考、班级管理等多场专题报告。现任教于北京市第十二中学高中部。
张 琦北京教育学院丰台分院数学教研员,骨干教师,中国教育学会辅导机构教师专业水平等级认证专家评委、命题专家。主编《高考复习三级跳》丛书数学卷,在全国知名学术期刊上发表有影响的论文数十篇。
不等关系是客观世界中广泛存在的一个基本关系,各种类型的不等式在现代数学的各个分支及实际应用中起着十分重要的作用。在历史上,人们在考查事物的时候,经常要进行大与小、多与少、长与短等的比较和研究。而一旦有了这样的比较就很容易引起人们在数量关系上的认识,进而产生相等或者不等关系的定义。
在我国,历来强调不等式的重要地位。《普通高中数学课程标准(实验)》中明确指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。”
《普通高中数学课程标准(2017年版)》中则将相等关系、不等关系一起进行论述：“相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础。”通过本单元的学习,“可以帮助学生通过类比,理解等式和不等式的共性与差异,理解基本不等式,提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养”。
自1934年哈代的名著《不等式》问世以来,不等式知识就结束了零散的、孤立的状态,而是形成了自己的固有体系。哈代的著作,完整、简洁、系统地讲述了不等式的基本内容,内容由初等到高等。在此之后,有关不等式问题的研究层出不穷,文章、著作也很多。而且各类考试均对不等式知识表现出了浓厚的兴趣,比如数学奥林匹克中不等式的题目甚多,几乎每届I MO与CMO都有一道不等式题;而在我国高中联赛和高考题中,不等式也是屡见不鲜。为什么会这样呢?主要是因为不等式最能反映出选手的创造能力,能够考查选手分析问题、解决问题的能力。
下面拟通过相关试题,对不等式相关内容进行简单梳理,以供参考。
一、阿基米德的不等式
古希腊的科学家、数学家阿基米德曾研究过圆面积计算公式和圆周率,他所用的极富启迪性的方法,被后人称之为“割圆术”。阿基米德在《圆的度量》中,提出了三个命题：
1.圆面积计算公式,其中L为圆周长,r为圆半径;
2.圆与其外切正方形面积之比为11∶14;
3.圆周率π：。
关于圆周率,阿基米德分别从圆的外切正多边形和内接正多边形进行推导,通过对近似数值进行精巧的调整,最终得到。事实上,在古希腊或更早时候,数学家已经有了朴素的不等式的概念,并且能够利用逼近的思想解决某些数学问题,这是难能可贵的。但是,那时候并没有我们现在习惯上常用的这些不等式的符号,所以其表示不等关系时,是比较复杂的。随着时间的推移,在科学家的著作中会偶有涉及不等式的问题,但是直到不等号出现为止,不等式的理论发展是比较缓慢的。
二、不等号的历史与不等式理论体系
数学符号不仅可以简化和表示较为复杂的事物,而且能加快数学思想的发展速度,帮助人们利用、理解数学知识。数学符号对于数学来说有着非常关键的作用。下面我们就来看看不等号的由来。
16世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授雷科德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了。于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。1591年,法国数学家韦达在文中大量使用这个符号,它才逐渐为人们接受。17世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号,才使其得以流行并沿用至今。大于号“＞”和小于号“＜”,是1631年英国著名数学家哈里奥特创用。1631年哈利奥特在著名的《分析术实例》一书中关于大于和小于的记号是这样记录的：大于的记号：a＞b表示a量大于b量;小于的记号：a＜b表示a量小于b量。由于这对记号简洁且对称,最终为大家所接受并使用。
就像研究平面几何一样,我们在研究不等式的时候,也需要先有一些“不证自明”的公理,之后根据这些公理,再来构建不等式理论的大厦。不等关系,是代数的实数集中特有的一个概念,按照哈代的说法,我们取正数这一概念作为未定义物,又取下列两个命题作为公理：
(Ⅰ)或a为零,或a为正,或-a为正,这些可能性是相互排斥的;
(Ⅱ)两正数之和与积仍为正数。
根据这两条公理,我们知道或-a为正,则称a为负;若a-b为正,则称a大于b;若a-b为负,则称a小于b。这个时候,我们就能得到下面的不等式的基本性质：
(1)对称性：a＞b⇔b＜a。
(2)传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c。
(3)加(减)：a＞b⇒a+c＞b+c。
(4)乘(除)：a＞b,c＞0⇒a c＞b c;a＞b,c＜0⇒a c＜b c。
(5)乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈Z且n＞1)。
(6)开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈Z且n＞1)。
(7)a＞b,c＞d⇒a+c＞b+d。
(8)a＞b＞0,c＞d＞0⇒a c＞b d。
此后关于不等式的推导,大多依赖于以上几条性质。换句话说,以上这些不等式的基本性质是我们解不等式和证明不等式的基本出发点。下面,我们就看一些在不等式发展史中有着重要地位的不等式。
三、基本不等式
基本不等式,由名字就可以看出来其重要性,大概可以说它是最基本的重要不等式之一,在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。下面从几何的角度简单进行解释。
如图1,A B是圆O的直径,点C是A B上一点,A C=a,B C=b。过点C作垂直于A B的弦D E,连接A D,B D。
图1
当且仅当点C与圆心O重合时,即a=b时等号成立。
综上所述可知,基本不等式的几何意义可以理解为：在圆内,“半径不小于半弦”。是a,b的算数平均数,是a,b的几何平均数,所以基本不等式又叫作平均值不等式。平均值不等式更一般的表达形式如下：
一般来说,假设a1,a2…,an为n个非负实数,它们的算术平均数记为An=,几何平均数记为G=n算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：,即An≥Gn,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立。上述不等式称为平均值不等式,或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单,容易记住,但它的证明和应用非常灵活、广泛。它有多种不同的证明方法,感兴趣的同学可查阅相关资料进行研究。我们下面来看两道高考题。
例1(2013年天津高考理)设a+b=2,b＞0,则当取得最小值。
解析：因为a+b=2,b＞0,所以,当且仅当时等号成立,此时a=-2,或a=。若a=-2,则;若,则所以取得最小值时,a=-2。
例2(2013年山东高考理)设正实数x,y,z满足x2-3x y+4y2-z=0,则当取得最大值时的最大值为( )。
解析：求解此题,可先根据已知条件用x,y来表示z,再经过变形,转化为基本不等式的问题,取等号的条件可直接代入,进而再利用基本不等式求出的最值。
由x2-3x y+4y2-z=0,得z=x2-3x y+4y2。
四、柯西不等式
柯西不等式是指下面的定理：设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则当数组a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn不全为0时,当且仅当bi=λ ai(1≤i≤n)时等号成立。
柯西不等式的证明方法有很多,如配方法、向量法等,感兴趣的同学可查阅有关资料进行研究。
关于柯西不等式的考题也非常多,下面我们来欣赏几道。
例3(2017年北京海淀区一模)已知实数u,v,x,y满足u2+v2=1,,则z=u x+v y的最大值是
解析：本题与常规线性规划问题有着明显的区别,因为同学们很难发现z=u x+v y的几何意义。但是同学们如果仔细分析,适当进行转化,应该能够找出下面的思路：
若记a=(u,v),b=(x,y),则z=a·b=|a|·|b|·cos
此外,还可以根据柯西不等式得,(u x+v y)2≤(u2+v2)(x2+y2)=x2+y2,因为x2+y2表示阴影区域内任意一点与原点距离的平方,所以点为(2,2)的时候,距离的平方最大,最大值为8。
也就是(u x+v y)2≤(u2+v2)(x2+y2)=x2+y2≤8,所以u x+v y≤2,当且仅当x=y=2,u=v=时,等号成立。接下来,我们看这样一道经典练习：
例4(2008年全国Ⅰ卷理)若直线x a通过点M(cosα,sinα),则( )。
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1
解析：本题常规解法是注意到点M是单位圆上的动点,直线通过点M,也就是圆心到直线的距离小于等于半径,从而可得结论。
例5(2012年湖北卷理)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,a x+b y+c z=20,则=( )。
解析：由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(a x+b y+c z)2=400,当且仅当时取等号,因此有
关于柯西不等式的练习还有很多,本文不再一一列举。请同学们注意,在利用柯西不等式求最值的时候,一定要关注等号成立的条件。
五、绝对值三角不等式
定理1：若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a b≥0时,等号成立。
定理2：设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之间时等号成立。
事实上,绝对值三角不等式可加强为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,还可以推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。
此外,绝对值三角不等式还有关于向量的形式,如下：
对于任意两个向量a,b,有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。
例6(2016年浙江高考理)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大
解析：如果同学们能灵活应用绝对值三角不等式的向量形式的话,本题是非常简单的。解题过程如下：|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,所以|a+b|≤ 6,平方可得a2+2a·b+b2≤6,可知a·b≤。所以a·b的最大值为。
例7(2016年浙江高考理)已知实数a,b,c,则( )。
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2＜100
B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2＜100
C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2＜100
D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2＜100
解析：可举反例排除错误的选项：
对于A,令a=b=10,c=-110,可排除此选项。
对于B,令a=10,b=-100,c=0,可排除此选项。
对于C,令a=100,b=-100,c=0,可排除此选项。
下面我们来看选项D,根据绝对值三角不等式,可知1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|a2+b+a+b2|,由于,所以可知,所以可得-2＜＜2,-2＜,再根据绝对值三角不等式,可知1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|a2+b-a-b2+2c|,由于a2-a,b2-b∈,可求得c∈(-7,7),所以必然有a2+b2+c2＜22+22+72＜100。
故答案为D。
