数列中的创新题型

2018-12-10浙江省诸暨市职业教育中心

中学生数理化(高中版.高二数学) 2018年11期

■浙江省诸暨市职业教育中心王凯

数列是函数概念的继续和延伸,它不仅注重对同学们的运算能力,分析问题和解决问题的能力的考查,更重视对同学们理性思维和创新意识的考查。数列中的创新题型都是以数列、不等式、函数、直线与曲线为载体,主要考查同学们观察发现、类比转化以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力。下面举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略。

题型一概念型创新题

例1在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}为周期数列,其中T叫作数列{an}的周期。已知数列{bn}满足bn+1=|bn-bn-1|(n≥2,n∈N),如果b1=1,b2=a(a≤1,a≠0),当数列{bn}的周期最小时,该数列前2018项的和是( )。

A.670 B.671

C.1341 D.1346

解析：由已知bn+1=|bn-bn-1|(n≥2,n∈N),且b1=1,b2=a(a≤1,a≠0),故b3=|b2-b1|=|a-1|。根据周期数列的定义,当T为2时,由|a-1|=1,得a=0(舍去)或a=2,但a=2不满足bn+1=|bn-bn-1|(n≥2,n∈N);当T为3时,由||a-1|-a|=1,得a=0(舍去)或a≥1,故a=1,最小周期为3,该数列为1,1,0,1,1,0,…,前2018项的和是2×672+2=1346,选D。

点评：这类题的特点是首先给出一个新定义,然后根据定义提出一系列问题。解题策略是：仔细阅读题意并捕捉相关信息,紧扣定义,围绕定义与条件,结合所学的数学知识和方法,通过归纳、探索、推理、计算,发现解题方法,然后解决问题。

【变式训练1】在一个数列中,若每一项与其后一项的积为同一个常数(有限数列的最后一项除外),则称该数列为等积数列,其中的常数称为公积。若数列{an}为等积数列,且a10=2,公积为6,则a1·a5·a9·…·a2017等于()。

A.2503B.2502C.3505D.3502

解析：由a10=2,且公积为6,得a9=3,进而得到a1,a5,a9,…,a2017均等于3。总共有多少个3相乘?问题转化为“已知首项为1,公差为4的等差数列,求2017是数列中的第几项”,由于2017=1+504×4,所以2017是数列中的第505项,,从而可得答案为C。

题型二数列性质创新题

例2已知数列{an}(n∈N*)满足：an则

解析：由an=-an-3(n≥7且n∈N*),可得n≥7时,an+6=an,于是知a2018=a8=-a5=-5。

点评：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质,特有的规律,从而达到解决问题的目的,其中性质探求是解题的关键。

【变式训练2】若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则数列,(n∈N*)也是等差数列。类比上述性质,相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且cn＞0,则有数列,(n∈N*)也是等比数列。

解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”,不难得到也是等比数列。

题型三数列运算创新题

例3定义一种“*”运算：对于n∈N*,满足以下运算性质：(1)2*2=1;(2)(2n+2)*2=3(2n*2)。则用含n的代数式表示2n*2为

解析：这里2*2=1,相当于告诉了数列的首项为1,而(2n+2)*2=3(2n*2)实际上是一种递推关系,即,故2n*2可以看成是一个首项为1,公比为3的等比数列,则2n*2=3n-1。

点评：数列运算的创新题有时很隐蔽,需要认真捕捉相关信息,抓住问题的本质。这类题有时也可以从特殊到一般,先分析前几项,找出规律,再探究。

解析：由等差数列前n项和公式的推导方法知：倒序相加,可得f(x)+f(1-x)=。所以f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)=。

题型四情境创新题

例4如图1,一个面积为1的三角形,现进行如下操作：第一次操作,分别连接这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图2中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”;第二次操作,连接剩余的3个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图3中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”;第三次操作,连接剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”;……;如此下去,记第n次操作后剩余图形的总面积为an。