不等式恒成立问题，你会解吗？

■广东省汕头市澄海苏北中学 陈跃琳

★原题再现 一目了然

例1设f(x)=x2-2m x+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围。

解：设F(x)=x2-2m x+2-m,则当x∈[-1,+∞)时,F(x)≥0恒成立。

当Δ=4(m-1)(m+2)＜0,即-2＜m＜1时,F(x)＞0显然成立。

当Δ≥0时,如图1,F(x)≥0恒成立的充要条件为：解得-3≤m≤-2。

图1

综上,实数m的取值范围为[-3,1)。

点评：设f(x)=a x2+b x+c(a≠0),(1)f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0且Δ＜0;(2)f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0且Δ＜0。若二次不等式中x的取值范围有限制,则可利用根的判别式及对称轴解题。

★举一反三 一叶知秋

例2若对于任意实数m,关于x的方程l o g2(a x2+2x+1)-m=0恒有解,则实数a的取值范围是

解：l o g2(a x2+2x+1)-m=0恒有解⇒y=a x2+2x+1能取遍一切正实数。

因此,a=0,或

点评：解题的关键是将方程有解问题等价转化为y=a x2+2x+1能取遍一切正实数,二次项系数含有参数,需要进行分类讨论。

★反馈沟通 一丝不苟

例3已知函数f(x)=|x2-4x-5|,若在区间[-1,5]上,y=k x+3k的图像位于函数f(x)的图像的上方,求k的取值范围。

解：本题等价于一个不等式恒成立问题,也即对于∀x∈[-1,5],k x+3k＞-x2+4x+5恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化为求函数的最值问题。对于∀x∈[-1,5],k x+3k＞-x2+4x+5恒成立⇔对于∀x∈[-1,5]恒成立。令,x∈[-1,5],设x+3=t,t∈[2,8],则,当t=4,即x=1时,ymax=2,k的取值范围是k＞2。

点评：本题通过分离变量,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题。本题中构造函数求最值对同学们来说有些难度,但通过换元后可巧妙地转化为“对钩函数”,从而求得最值。

★触类旁通 一网打尽

例4已知,当x∈[1,+∞)时,f(x)的值域是[0,+∞),试求实数a的值。

解：本题是一道恰成立问题,相当于的解集是x∈[1,+∞)。

当a≥0时,由于当x≥1时,f(x)=,与其值域是[0,+∞)矛盾。

当a＜0时,上为增函数,所以f(x)的最小值为f(1)。令f(1)=0,即1+a+2=0,a=-3。

综合可得a=-3。

点评：不等式恰好成立问题的处理,体现了方程与不等式之间的联系。