多元最值问题的变式探究

■河南省潢川一中 王君昊

大家知道,基本不等式是高中数学的重要知识,高考对基本不等式的考查,主要以多元最值为背景的题型呈现,而多元最值问题的求解却并非仅仅依赖于基本不等式。在高考中,多元最值问题形式多样,综合性极强,因而具有一定的挑战性。面对变幻莫测的多元最值问题有何良策呢?让我们从一道2018年的高考题说起。

【引例】(2018年天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则的最小值为。

解析：由a,b∈R,且a-3b+6=0得,3b=a+6。

评注：上述解法采用了代入消元法,从而把两元最值问题转化为一元最值问题,利用基本不等式求最值,这是求多元最值问题最基本的方法之一。

【变式1】(2018年江苏高考)在△A B C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠A B C=120°,∠A B C的平分线交A C于点D,且B D=1,则4a+c的最小值为 。

解析：如图1,因为∠A B C=120°,且B D为∠A B C的平分线,所以∠A B D=∠C B D=60°。

图1

又因为角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且B D=1,所 以S△A B C=a csin 120°,S△B D C=asin60°,S△A B D=csin60°。

于是,由S△A B C=S△B D C+S△A B D得：a csin120°=asin60°+csin60°。

故a c=a+c,即

于是4a+c=(4a+c)+5=4+5=9。

评注：本题的难点在于从图形中找出a与c的关系式：a c=a+c,即。本题解析中利用基本不等式求多元最值时采用了整体代换的数学思想。

【变式2】若x,y,z均为正实数,且x2+y2+z2=1,则的最小值为

解析：令1+z=t,则2＞t＞1。因为x2+y2=1-z2≥2x y,所以≥==,当且仅当t=1+z=,x=y时取等号。

评注：本题共有三个变量,解题的关键是利用基本不等式消元,解答过程中两次应用了基本不等式,第一次应用基本不等式既起到了消元的作用,又起到了放缩的作用,第二次应用基本不等式是为了求出最值,在这里必须注意等号是否成立。

【变式3】已知正数x,y满足2x y=,那么y的最大值为

解析：2x y==4x+。故y的最大值为。

评注：将两个变量分离再将问题转化为解对应不等式问题,体现了数学思想对数学解题的“统领”作用。

【变式4】若实数x,y满足2x2+x yy2=1,则的最大值为

解析：把2x2+x y-y2=1变为(x+y)·(2x-y)=1。

令2x-y=t,x+y=。

。

评注：从本题解析中可以看出,引进参数不是增加变量,而是为了巧妙消元,引入一个变量t,消去两个变量x与y,不仅使原式成为关于t的函数,而且可将其配成基本不等式应用的模式,真可谓“合理引参,巧夺天工”。