以形贯之 水到渠成——运用G.D模型探索小学数学单位“1”问题的策略研究

严 骐

（浙江省杭州市钱塘外语学校，浙江 杭州 310000）

一、问题缘起

【问题情境】在教学六年级上册“分数除法的解决问题”中，遇到了这样一题：在通常情况下，体积相等的冰的质量比水的质量少。现在有一块重9kg的冰，如果有一桶水的体积和这块冰的体积相等，这桶水有多重？对于这题，学生们出现了两种不同的算法，一种是把水作为单位“1”，一种是把冰看做单位“1”。

【分析】题目中把水作为单位“1”，而很多孩子把冰看做单位“1”。通过与学生交流发现，找准单位“1”对学生来说并非易事。

（一）找准关键困难

在解决问题的学习中，学生思维方式比较粗略，往往根据思维定式进行解答，错误率较高，并没找准关键词句，没有好的方法。

（二）引导思维抽象

小学数学学习基本以形象具体思维为主，但是在解决问题领域很多知识点比较抽象，缺乏代替抽象物体的数学载体。

（三）学习方式陈旧

很多数学课沦为灌输知识点、传送定理与规律并以应用知识点学会解题的课堂，缺少定理的探索、寻求规律以及知识点本身的来源。学习方式仍以应试为主，套路陈旧，学生学习缺乏激情。

二、现状分析

（一）单位“1”找不准

寻找单位“1”解决问题一直是学生的难点，如何才能更好的帮助学生克服这个难点呢？我们发现，在分数乘除法中，解决问题的出现无非伴随着三种题型：①两种数量比较 ②部分数和总数 ③愿数量与现数量

我们发现，不管是哪种情况，事物之间都存在着某种关系，如果将抽象的事物加之以“形”，将它展现在学生面前，那么单位“1”还会难找吗？

（二）单位“1”难理解

针对以上学生出现的情况，我对六年级两个班79名学生进行了问卷调查与统计，调查结果显示，大多数学生比较“怕”分数乘除法，并且“怕”的原因主要是因为找不准单位“1”，由于单位“1”的理解比较抽象，学生理解起来难度较大。

三、意义探寻

利用已有知识画出线段图，找到数量关系，然后解决问题。通过平时的教学发现，G.D模型在小学低段就已经有所涉及，但是并非广泛使用，导致学生知道方法，但是不常练习，久而久之，便会生疏。

（一）何为G.D模型

G.D模型：是指在解题过程中运用画图的方式，画出与题意相关的图形或图案，借以帮助解题者观察、推理、思考，是解决数学问题的一种手段。通过画图的方式使问题具体化，形象化，进而找出解题的途径。

（二）G.D模型的意义

根据统计，在分数乘除法的解决问题中，学生用的方法主要有算数法、解方程、通过对学生分数乘除法解决问题常见错误的收集、整理与分析，利用G.D模型解决此类问题，旨在改进教学，增强教学效率。

三、策略研究

示范演绎——感受“G.D”魅力

斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”小学高段学生的思维正从形象思维到抽象思维转变，纯文字的问题在语言表述上比较简洁，桔燥乏味，以至使他们常常读不懂题意。

（一）创设体验情景

在教学中创设体验情境，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。

1.生为本：以图代题。让学生自己在纸上涂一涂、画一画，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原问题的本来面目，拓展解决问题的思路，从而提高学生解决问题的能力。

2.思为重：以画代学。从图形中寻求关联的特激发孩子们的兴趣，再现数量之间的关系，使数学与图形结合，以画促思，最终可以化复杂为简单，化抽象为直观，同时，让他们在尝试中体会到用图解题的快乐，体验用G.D模型解题带来的成功感和价值感。

（二）建立G.D模型

在《数学课程标准》提出的课程目标中，把解决问题作为重要的课程目标，并指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

1.学为思：以绎代问。G.D模型是众多的解题策略中最基本的、也是一个很重要的策略。通过画图，为学生解决抽象的数学问题搭好了桥，帮助学生化抽象为直观，揭示概念本质；化繁为简，呈现数量关系；化隐为显，再现想象模型；化无为有，梳理事件规律等等。

2.迁为移：以析代想。教学要真正做到培养学生运用图形演绎策略解决问题的能力，不仅是在加深问题的难度上下功夫，更要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的图形演绎策略，使学生能够产生迁移，这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答的方法。

（三）学习演绎——掌握“G.D”策略

1.抽象数据转换。学生对画图有了兴趣，并初步掌握了画图的方法时，要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，就要有意识地找有代表性的又为学生容易接受的题目，重点培养学生的画图策略，使学生能够灵活运用画图策略，并产生迁移。

2.外化演变内化。根据学生的认知规律，学习都会经历一个从“外化”到“内化”的过程。正因为这个过程，让学生的学有了质的变化。

（四）视需选择——体验“G.D”多样

1.G.D模型优选。“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是《数学课程标准》确定的课程目标之一。

2.选到定：最优策略。“受之于鱼不如授之于渔”，教学生解题还不如教他们解题的方法。希望学生能运用画图的策略来解决问题，首先要教会他们如何来画图，并选择合理的画图方式来解题。

3.一到多：殊途同归。画图的形式除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图 、集合图、统计图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征。

（五）G.D模型延伸

学生有着不同的知识背景和思考角度，他们的差异是客观存在的，对同一个问题，由于学生的认知水平和认知风格的不同，常常会出现不同的解题方法，这正是学生具有不同个性的体现。

1.角不同：灵活多变。教学中，教师应鼓励学生用已有的经验大胆思维，经历数学知识的探索过程，寻求解决问题的途径。图形演绎策略固然是一种很重要的解题策略，但在解决实际问题中要灵活应用，有时需要与其它策略相结合，才能充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。

2.度不一：各有千秋。学生有着不同的知识背景和思考角度，认知水平和领悟力的不同，常常会出现不同的解题方法，这正是学生不同个性的体现。画图方法固然是一种很重要的解题策略，但在解决实际问题中要灵活应用，需要与其他学习方法相结合，充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。

（七）灵活演绎——提升“G.D”效果

1.G.D发散策略。尽管形式上变化多端，其本质或目的不变。掌握G.D模型，不管题目如何变，它的思想始终不变，抓住不变量去解决因变量，最终达到解决问题的目的。

2.数促形：数形结合。数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题和解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

3.散而活：返璞归真。学生的创造性思维是遇到了要解决的问题引发出来的。问题是激发思维的起点，矛盾是推动思维的动力。问题设计得科学艺术，能激起学生动机，开阔学生思路，诱发求知的欲望，使学生的思维由潜伏状态转入活动状态，有利于发散思维的形成。设疑要从学生熟悉的角度和关心的事物入手，提出具有趣味性、启发性、探索性的问题，使学生产生探究的认知心理。

4.G.D知识迁移。小学数学基本思想是指：渗透在小学数学知识与方法具有普遍而强有力适应性的本质思想。可以分为转换思想、对应思想、归纳思想、化归思想、类比思想等，这些思想是整个小学数学的基石，也是数学通向科学殿堂的桥梁。因此教师在培养学生利用画图策略解决实际问题的过程中应有意识的渗透数学思想，从而来培养和发展学生的数学能力。

（七）量与率：一一对应

分数解决问题的对应关系是指量与率的对应关系。简单的分数应用题、量与率直接对应，在复杂的应用题中，量与率的对应关系是间接的，这种间接的对应关系，有时“量”是隐蔽条件，有时“率”是隐蔽条件，也有时“量”与“率”都是隐蔽条件。画图策略在帮助我们明确对应关系中发挥了重要的作用。

题与图：G.D转化。转化思想是数学的基本思想之一，有些应用题，按原题的条件，数量关系解答起来比较复杂，如果根据知识之间的内在联系，变换一种方式去思考，恰当地运用直观图形转化题中的数量关系，把原来的问题转化为另一种容易解决的问题，从而打开解题思路，顺利解决问题。

所以在分数解决问题时，当题意和数量关系比较抽象时，教师就要引导学生有意识地通过画线段图帮助理解题意，分析数量关系，化抽象为具体，这样就能化难为易，从而提高学生分析和解答问题的能力。

五、成效与反思

（一）实践发现

G.D模型确实是一种“美丽”的资源，有助于培养学生对数学的兴趣，提高学生分析与解决问题的能力，对今后的学习生活将有很大的帮助。

（二）思考

单位“1”解决问题始终是小学阶段的一个难点，如何让学生克服这个难点，是每一届六年级教师的思考方向。合理利用学生通俗易懂的G.D模型来解决此类问题，能达到教学上事半功倍的效果，也能让学生学的扎实，学的轻松。