基于同伦方法构造绝对值方程解存在的条件

2018-11-28姜兴武姜舶洋杨雪莹王秀玉

吉林大学学报（理学版） 2018年6期

关键词：方程解有界将式

姜兴武, 姜舶洋, 杨雪莹, 王秀玉

(1. 吉林工商学院基础部, 长春 130507; 2. 北京工业大学信息学部, 北京 100022;3. 北京邮电大学国际学院, 北京 100876; 4. 长春工业大学基础科学学院, 长春 130012)

1 引言与预备知识

考虑如下形式的绝对值方程：

Ax-|x|=b,

(1)

其中:A∈n×n;b∈n; |x|表示向量x的每个分量取绝对值. 目前, 关于绝对值方程的研究已有很多结果: 文献[1]获得了绝对值方程与水平线性互补问题的等价关系; 文献[2-4]描述了求解绝对值方程的有效算法; 文献[5-7]研究了绝对值方程解存在的条件. 组合同伦方法是求解优化及互补问题的一个有效方法[8-9]. 本文结合绝对值方程与互补问题的关系, 运用组合同伦方法给出绝对值方程解存在的一个条件, 该条件不同于目前常用的正则性条件. 实例分析表明, 该条件不满足正则性, 但满足本文条件的绝对值方程有解且解不唯一. 用xT表示向量x的转置, (xT,yT,zT)T记为(x,y,z).分别表示向量的分量非负(正)的向量集合. 若也记为x≥0(x>0),I表示单位矩阵.

定义1[2]如果对任意的矩阵B∈[A-I,A+I]均为非奇异的, 则方阵区间[A-I,A+I]称为正则的; 否则该矩阵区间称为奇异的.

引理1[1]绝对值方程(1)等价于如下广义线性互补问题:

y=(A-I)x-b≥0,z=(A+I)x-b≥0,yTz=0.

由引理1知, 求解绝对值方程问题可转化为求解广义线性互补问题.

假设:

(H1) 矩阵A可逆, 且有

[(A-I)x]∘[(A+I)x]≤0⟹[(A-I)x]∘[(A+I)x]=0,

即矩阵对(A-I,A+I)为列充分矩阵对, 其中:I为单位矩阵; ∘表示对应分量乘积.

(H2) 绝对值方程Ax-|x|=0只有零解x=0, 即广义线性互补问题

y=(A-I)x≥0,z=(A+I)x≥0,yTz=0

只有零解.

下面举例说明条件(H1),(H2)与区间矩阵[A-I,A+I]的正则性不同.

若(A-I)x∘(A+I)x≤0, 则有

若x1+x2>0, 由(x1+x2)(3x1+x2)≤0及(x1+x2)(x1+3x2)≤0, 必有3x1+x2≤0和x1+3x2≤0, 这与x1+x2<0矛盾. 若x1+x2<0, 由(x1+x2)(3x1+x2)≤0且(x1+x2)(x1+3x2)≤0, 则有3x1+x2≥0和x1+3x2≥0, 这与x1+x2<0矛盾. 因此x1+x2=0, 即假设(H1)成立.

对于