圆锥曲线取值范围问题的求解策略

吕红霞

（江苏省江阴市成化高级中学，江苏江阴 214423）

引 言

圆锥曲线中的取值范围问题，历来是高考命题的热点与重点，这类问题具有很强的综合性，解决这类问题的关键是找到隐含的不等式。学生只有审读题目，仔细分析，才能让这种不等关系 “浮出水面”，因而这类问题往往令考生“闻题色变”[1]。那么这类取值范围问题该如何建立不等关系呢？本文举例说明。

一、利用根的判别式构造不等式

从直线和圆锥曲线的位置关系出发，往往可以利用根的判别式构建不等式，再解这个不等式就可求出参数的取值范围。

思路1：可通过联立方程，消去变量（如消去 y），得到关于 x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ≥0在x∈R恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可。

思路2：从所给含参直线 y=kx+ 1入手可知直线过定点(0,1)，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入(0,1)后即因为是椭圆，所以m≠7，故m的取值范围是 [(1,7)∪(7,+∞)]。

比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路2中，从含参直线能发现点在椭圆内。当然解答本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以 m≠7。

二、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

点在曲线内，或曲线外，或在曲线的上、下、左、右，都可以用不等式来描述，利用这个不等式有时也可得到参数的取值范围，例1中的思路2就体现了这个方法。

思路：利用点差法求出弦的中点坐标，而中点又在椭圆内部。

三、利用几何特征构造不等式

圆锥曲线是数与形的结合体，从几何角度看，它也具有几何图形的特征，利用这些特征也可以构造不等式，如三角形的两边之和大于第三边、直角三角形的斜边大于直角边、圆中的直径是最长的弦等。

例3：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )。

求双曲线与椭圆的离心率的取值范围，一般需构造一个关于a,b,c的不等式，属于较难的一类问题，往往要从几何图形中去找，或利用双曲线与椭圆的几何性质。

四、利用函数的值域构建不等关系

对于某些取值范围问题，可以通过建立函数关系，把取值范围问题转化为函数的值域问题，即利用函数的值域构建不等关系。

当所求问题的取值范围的量可以写成关于某个函数关系时，一般可采用函数思想来解，但必须先明确这个函数的定义域，这样才可通过定义域求出函数的值域，即得到原问题的取值范围。

结 语

从以上四个例子分析可以看出，对于圆锥曲线的取值范围问题，可利用根的判别式构造不等式，利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式，利用几何特征构造不等式，利用函数的值域构建不等关系。构造不等式应具体问题具体分析，数形结合是根本[2]。