数学是符号的乐园——浅析符号意识的发展与培养

卫林灵

（江苏省南通市实验小学，江苏南通 226001）

引 言

有人问小学数学是学习什么？借用华应龙的话来说，就是用符号在一个乐园里开展各项活动。数学的学习离不开符号，对它的体会和应用贯穿于整个小学数学的学习过程。从幼儿咿呀学语开始认识的“1、2、3……”数字符号，乃至“＋、－、×、÷、＝、＞、＜、△、○……”符号，直至用字母符号来表示数。可以说，符号与数学有着紧密的联系。下面，笔者将围绕这三个问题进行简略的介绍和说明，希望能抛砖引玉，获得更多的启发。

一、追根溯源，挖掘数学符号产生的过程

数学符号的历史是伴随着人类抽象能力的发展而展开的。从1根小棒、1个苹果、1本书等有共同点的东西中，可以提炼出数字1来；同样，从2根小棒、2个苹果、2本书……中可以抽象出2来。这样就可以抽象出1、2、3……自然数，这些自然数就是一类数字符号。这些数字符号简明、抽象、准确、清晰，非常便于数量的记录和表达。数学教材的编排也一定程度上还原了人类对数字符号的抽象过程。例如，苏教版数学一年级《认识10以内的数》。学生充分感受和经历了数学符号的抽象和产生过程。

师：仔细观察，你在图中发现了什么？

生：有1个小朋友拉风琴，有2盆花，3个小朋友在跳舞，4个气球，黑板上有5颗星星。

师：真棒！想一想，你有什么办法把刚才的发现记录下来？

生1：把人和物体依次画下来……

生2：用一个小圆片来代表一个人或物体……

生3：用数字来表示……

师：是的，我们有多种方式来表达图中的信息。你们觉得用哪种方式来表达最简单？

生：数字！

师：一个拉风琴的小朋友，一个圆片，用数字“1”来表示。

两盆花，两个圆片，用数字“2”来表示。

……

孩子们，“1”还可以表示什么？

生1：1只兔子；生2：1个苹果；生3：1本书；生4：1座房子……

师：（小结）孩子们，这个“1”可真了不起。它可以表示好多东西呀！不过它们都有一个共同点，数量都是1。

那么2、3、4、5呢？

……

学生从情境图出发，由具体事物对象—图形—数字符号，体现了数字1～5抽象概括的过程。此外，在数的领域，有自然数展开的分数、小数和负数等，都是为了满足生产和生活的需要而创造出来的各种数学符号，它们丰富了数的内容。然而，人类抽象的能力并未就此止步。数字的一一对应性，在表示数量或数量关系的一般规律上产生了局限性，引发了数学史上的第二次飞跃，即用字母表示数或数量关系[2]。这一飞跃，敲开了代数学的大门。

二、统一通用，理解数学符号的工具意义

使用统一的数学符号意义重大。符号的优点，笔者在前文已经有所表述，它的抽象性、明确性、可操作性、简略性和通用性等，为数学界的研究和交流提供了便利的工具。数学的三个基本思想，即抽象、推理和模型思想透过数学符号得到了充分的体现。正如秦统一六国的历史意义。通用的数学符号就是数学的流通语言，而这种语言非常精简，也许一页纸就能囊括所有。从徐品方等著的《数学符号史》一书看，初、高等数学中常见的数学符号有200多个（不包含数字），其中常用的仅100多个。这些数学符号构建了整个数学乐园。但是要想进入这个数学乐园，就得理解数学符号的意义，这是数学学习的基本要求。

例如，对“＝”的认识。它的意义有两大方面，一是表示“运算结果”，二是表示“等价关系”。在一年级上学期，学生通过数的比较大小，首次接触了等号；而后，在加减法中初步认识了一道算式的运算可以用等号表示“得到”结果。然而，随着学习进程的展开，学生对等号的理解产生了误区，偏重“得到”而忽略了“等价”。这直接导致了7＋8=15-3=12这类错误的出现。学生缺乏对等号“等价关系”的认知提升，又会使他们在学习“恒等式”和“方程”的初期遭遇思维的障碍。此时，数学符号的工具意义就无法充分体现，所以教材会用“天平”的图像来处理方程学习中的困境。

三、内生需求，培养数学符号的运用意识

事实上，学生在进入数学学习后，已经在普遍使用数学符号了，只是日用而不知。从《义务教育数学课程标准（2011年版）》对符号意识的具体表述可见，对于符号意识的培养要求，不仅是要读懂会用，还要具备主动运用符号进行思考的思维方式。发展用符号表达和运算、推理的能力。数字、字母、图形、关系式等构成的数学符号系统内容丰富，给符号的运用提供了丰富的资源。

到了第二学段，要重视“用字母表示数”的教学，这部分内容具有承前启后的重要意义。因为，在掌握了用字母表示数以后，学生在认知上将突破数字表示数的局限性，从而把握用字母表示数的普遍性。理解用字母表示数的意义，是学习代数的关键，也是后面学习代数式、方程、函数等的前提条件。然而这一过程是漫长而困难的，需要经历大量的活动，使学生在具体情境中内生性地产生运用符号意识的需求。

柳小梅老师执教的“用字母表示数”一课，创造性地采用“数学魔盒”的方式大获成功。她让学生在游戏中明确：用字母表示的数是已经学过的所有数，不局限于某个具体的数或是整数。也为后面用含有字母的式子表示结果同时还可以表示数量之间的关系做好铺垫。然后，无论是年龄问题、行程问题，还是数青蛙，都是让学生体会到运用字母表示数的必要性和符号表示的意义。循序渐进中，学生体会到，用字母不仅可以表示数，还可以表示一种关系和一种规律，为他们今后主动运用符号意识进行思考做了充分的演练。

结 语

可以说，没有符号，就没有现代数学。符号的产生与发展，伴随着整个数学的发展历史。符号对于数学的意义不亚于语言对于人类的重要性。对学生符号意识的培养任重而道远，因为他们决定了未来数学乐园的繁荣与发展。作为教师，更应该加强主动运用符号意识进行思维的能力，不断设计有价值的问题促进儿童学生数学素养的发展。