初探“顺反粘数”

马思琪

编者按：“数学写作”联盟始终坚守“常态阅读，深度思考，精致表达，共同发展”的理念，为推动数学写作活动的开展，展现学生的学习成果，鼓励学生深入思考、探究创新、合理表达，“数学写作”学校联盟开展了第一届“数学写作”学校联盟中学生数学写作竞赛活动，并取得圆满成功.

这次数学写作活动得到了多所学校的支持，其中涌現出许多优秀的作品.这些作品有的是对所读的文章或图书的深度思考，有的是对课堂内容在现实生活中的拓展和应用，有的是自己做一道题或一类题的感悟，有的是在使用数学工具的过程中的大发现，有的是数学相声、数学诗歌……以下择取其中的一些文章与读者共享.每年高考题中均会出现“拉分”的新题，这些同龄人文章里的新思路和体现出的理性思维、探究精神，对你拓宽思维、破解新题一定会有所助益.

翻开《新高考（高二版）》2017年第9期，看到刊首《闲人莫入》一文给出了以下一组神奇的等式，引起了我的兴趣：

8^2-4^2 =48；

68^2-34^2=3468；

668^2-334^2 =334668；

6668^2-3334^2=33346668：

文中说：“这样的等式，可以一直写下去，直到无穷大，统统都是成立的”“迄今为止，这样的一系列无穷等式，除此之处，别的地方再也没有看到过，真正说得上‘只此一家，别无分店了！”

我想：这组等式长得这么美，为什么会那么“孤独”呢？是她太“高冷”了吗？还是“曲高和寡”呢？难道没有相似的同伴？

我好想给她找个伴！

我找啊找，可就是找不到和它规律一样的数，但我找到了她的姐妹花——并蒂莲，请看：

14^2-7^2 =147；

134^2-67^2 =13467；

1334^2-667^2 =1334667；

13 334^2-6667^2 =133346667；

这两组数，是不是怎么看都有谜一样的蹊跷呢？

我为什么会发现这组等式呢？——国庆长假，全国各地到处各种堵，我就宅在家里来了一次有趣的数字发现之旅——这是一次奇特的旅游！以下是这一次的“游记”：

第一站风景：原题的证明

第二站风景：原题的推广

为方便叙述，对于这样的数，我给它取了个名字，叫“反粘数”：

第三站风景：原题的类比

有“反”为什么不能有“顺”呢？

第四站风景：全新的发现

此外，我还发现了一个非常有趣的现象.在有些类似的反粘数中：

1025^2-640^2=641025：

1276^2-870^2 =871276.

有一个“0”被“吃掉”了！在顺粘数里也有类似的现象：

30^2-24^2=324：

280^2-224^2=28224：

330^2-275^2=33 275.

终点站：留下一段“碎碎叨”

我为什么称之为“顺粘数”和“反粘数”呢？

因为“顺粘数”的平方差是按x，y的前后顺着粘在一起的，而“反粘数”的平方差是按x，y的前后反着粘在一起的.是不是很“Interesting”呀！

《闲人莫入》一文中说，不出现其他数字，只出现3，4，6，8四个数字.我从“顺反粘数”中也想找到这样的数.功夫不负有心人，我也有了新发现，不但找到本文开头列出的五个新数字（1，3，4，6，7），而且还发现了只出现两个数字（4和8）的数：

8^2-4^2 =48；

848^2-484^2 =484848；

84 848^2-48484^2 =4848484848；

这等式也可以一直继续下去直至无穷.但是如果右边的“48”成偶数对出现，它们就国庆撒欢儿去了，消失无影踪（左边化归为0了）；只有“48”成奇数对出现时，此规律才会源远流长，永无止境.

如此神奇的式子，你能证明吗？

如果规定等式两边只出现确定的数字，不规定是否按原数的数字顺序“顺粘”或“反粘”，又会有怎样的一番风景呢？我已经把这种数的名字都想好了，叫“排他数”.你是否愿意和我一起探寻新的风景呢？

点评 本文所研究的问题，从知识层面上看，不超过初中数学内容.但从数学思维角度看，已经完整地包含了数学研究的基本要素：给所研究“新伙伴”命名并下一个精确的定义，发现更多的实例、从中找出规律并证明之，然后对其进行类比推广，最后提出进一步研究的问题.在这篇数学写作的过程中，作者已经完整地经历了一次真实的“数学研究”过程.