老师，我为什么懂而不会——直线与圆篇

王思俭

考试结束，教室里同学们议论纷纷：

近几年高考题中的直线和圆的试题都很难，老师讲解时，我也懂了，但自己做又做不对，不知道问题出在哪里；

老师常说，求解直线和圆的题目，要经常想到圆的平面几何性质，但我不知道如何使用；

直线和圆的题目一旦综合起来，我就头晕了，只好用死算的方法求解，往往无功而返；

为此，我邀请几位学生就“直线与圆”这一知识进行交流，旨在帮助学生提高对圆的方程的认识，总结积累方法，提升数学核心素养.

生甲：已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5-3m，l2：2x+（5+m）y=8.则“l1//l2”的充要条件是“m∈______”.

根据l1∥l2的充要条件可得，（m+3）（m+5）=2×4，解之得m=-7，m=-1，m∈{-1，-7}.

生乙：m=-7可以推出l1∥l2，但m=-1得到的是l1与l2重合，因此充要条件是m=-7.

教师：正确！生甲没有理解两直线平行的充要条件究竟是什么？这就是你懂而不会的原因所在.

（变题）已知直线l1 ：（2+a）x+（a+3）y-5=0和l2：6x+（2a-1）y-8=0，当l1//l2时，实数a的值为_____ ；当l1⊥l2时，实数a的值为____.

生甲：当l1∥l2时，a=-5/2或a=4；当l1⊥l2时，a=-1或a=-9/2.

教师：正确！一般地，l1：A1x +B1y+C1=0，路：A2x+B2y+C2=0，其中A2i+B2i≠0（i=1，2），讨论两直线的位置关系.

生丙：l1与l2相交的充要条件是A1/A2≠B1/B2；l1∥l2的充要条件是A1//A2=B1/B2≠C1/C2；L1⊥L2的充要条件是A1/B1×A2/B2=-1.

教师：利用分式形式描述，一定要注意分母不等于零，这里Ai，Bi，Ci有可能是零的情况.A2i +B2i≠0的含义是什么？

生丁：是指Ai和Bi不同时为零，可能只有一个为零，也有可能两个都不为零.因此，l1与l2相交的充要条件是A1B2-A2B1≠0；l1∥l2的充要条件是A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0；l1⊥l2的充要条件是A1A2 +B1B2 =0；l1与l2重合的充要条件是A1B2-A2B1 =0且C1B2-C2B1=0.

生甲：已知A（4，0），B（1，0），動点P满足PA =2PB.设点P到点C（-3，0）的距离为d，则d的取值范围为____.

因为PA =2PB，而A，B，C三点共线，因此点P是线段BA的三等分点，也就是B，P，A三点共线，于是P点坐标为（2，0），所以点C到P的距离为d=5，故d的取值范围为{5}.他们的结论都是区间，而我的答案则是一个单元素集合{5）.

教师：PA =2PB一定能推得三点共线吗？三等分点的前提条件是B，P，A三点共线，你这是本末倒置了，其实，你没有真正理解PA =2PB的含义是什么.

生甲：我理解为PA =2PB，也就是点P是线段AB的内分点.看来我的理解力是有问题的.

生乙：动点P到两个定点的距离之比为2，点P应该是在一条曲线上的，设P（x，y），由已知得x2 +y2=4，因此点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，可以设P（2cosθ，2sinθ），则PC2 =13+12cosθ，因此PC2的最大值为25，最小值为1，所以PC的取值范围为[1，5].

教师：很好！他是利用三角代换的方法求解，最后转化为三角函数的最值问题.大家想一想还有其他方法吗？

生丙：利用数形结合思想求解较简洁，点P的轨迹为圆，由平面几何性质知CO-r≤PC≤CO +r，即1≤PC≤5.

教师：很好！研究圆的问题要充分利用圆的几何性质，这样可以大大提高解题速度！

生丁：这道题实质就是阿波罗尼斯圆问题，一般情况是：两个不同的定点A，B，动点P满足PA =λPB（其中λ为正常数），则动点P的轨迹为圆，

教师：你将特殊问题一般化，很好！你能给出具体的求解过程吗？

生丁：以AB的中点为原点，以AB所在直线为z轴，AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（-a，0）（a>0），点B的坐标为（a，0），P（x，y），于是PA=λPB代数化并化简，得（x-（λ2+1）/（λ2-1）a）2+y2= （4λ2a2）/（λ-1）2，所以点P的轨迹是以（λ2+1）/（λ2-1）a，0）为圆心，以（2λa）/|λ2-1|为半径的圆，

生戊：不严谨，当A =1时，不成立，此时轨迹是线段AB的中垂线，所以应该分类讨论，

教师：正确！解题应该严谨.

（变题）在△ABC中，AB=2，CA=√2CB，则△ABC的面积的最大值为___.

生甲：直接代人上述圆的方程，很快得出（x-3）2+y2=8，半径r=2√2，圆上距离x轴（线段AB）的最大值为半径，因此三角形的面积的最大值为2√2.用这种方法做很简单，以前我做过类似的问题，方法很烦琐，这简单的解法取决于理解力的宽度.

教师：生甲概括得很好！从这道变题中他悟出解题的道理，你们应该学会做中悟道.

生甲：已知圆O：x2+y2 =4上恰有四个点到直线l：x+y+c =0的距离为1，则实数c的取值范围为_____.

你们平时学习一定要注意总结与积累，同学之间要善于交流，不怕出错，要在错误中寻找原因，通过交流，消除自己在数学认知结构上的“盲点”；通过讨论，使自己对数学核心知识又有新的认识；通过辩论，不仅提高自己的思辨能力，而且提升自己的数学核心素养，因此，你们要敢于质疑，大胆质疑，勇于探索！