不使用微积分求最值的方法

赵金荣

摘要：本文提供了一种方法，用来求出不是二次函数的函数的最大值或最小值，不使用微积分，只需要使用恰当的代数方法及相应的定理即可完成。并提供了典型例题说明这个方法的应用。

关键词：最值问题 多项式函数 快速验证

最优化是应用数学的一个分支，主要指在一定条件限制下，选取某种研究方案使目标达到最优的一种方法。最优化问题在当今的军事、工程、管理等领域有着极其广泛的应用。在这类问题中，在题目会有的提问中总会出现“最多”、“最少”、“最長”或“最短”、“至多”或“至少”等问题，这类问题又称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应用类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类目广泛，是数学、物理中常见的类型题目。

一般地，最值问题需要使用微积分的技巧，求出不是二次函数的函数的最大值或最小值。但是，也有一些涉及多项式或多项式的商的情况，不需要使用微积分，只需要使用恰当的代数便可以解决。下面的定理可以用来计算某种问题的最值问题（这个定理建立的方式之一在这个项目的最后给出）。

一、最大值问题的解决

定理1如果三个正数s、t和u是一个常数，那么这三个数的乘积取得最大值的充要条件是s=t=u。

在这里，会给大家提供三个例题，用来说明这个定理的应用；然后大家就能够自己尝试解决接下来给出的其他问题。

例题1：已知三个正数的和是1。那么这三个数的乘积的最大值是什么7设s、t和u表示这三个数，那么就会有s+t+u=1.根据定理1.当这三个数彼此相等时，其乘积最大，所以，在这个例题中，s+t+u=1等价于s+s+s=1，故可以得出s=l/3，由此，t和u也都等于113，那么这三个数的乘积的最大值是s+t+u=（113）（1/3）（1/3）=1/2.要快速验证这个结果，取任意三个正分数或小数，使三者之和均为1，计算这三个数的乘积，可以发现总是小于1/27（当然，假设您挑选的数值不全部等于1/3。）

例题2：设f（x）=2x（4-x）²。使用标准图像法，可以发现这个函数的图像的一般形状，如图A所示。图像的一个转折点是（4，0），在x轴上；第二个转折点在第一个象限中，其x坐标在4和0之间。要求出第二个转折点的精确坐标值。首先需要得到f（x）的三个组成因式，也就是2x，2-x和2+x，这三个因式的和的确是一个常数：2x+（4-x）+（4-x）=8。另外，在开区间02