静静地想 慢慢地试——《圆的面积》教学实践与评析

江苏海门市通源小学 曹晓丹/执教

江苏海门市能仁小学 杨慧娟/评析

【课前慎思】

圆对小学生来说是一次思维的飞跃，从学习一维的点、线到学习二维的面，一直接触的都曲为直”仍是一个大挑战，学生不知如何转化成他们所熟悉的直线图形成为本课的一大难点。

曾经在课堂上，问题一提出是直线图形。虽然在学习“圆的周长”时，对“化曲为直”的思想有所体会和运用，但对学生来说，用转化的方法实现圆的“化就有学生立刻回答道：“平均分成16份，再拼成一个平行四边形。”这种近似标准答案的回答，让我非常惊叹。课后调查得知，这部分学生已经预习过书本，只是照搬方法而已。如果是这样，那么课堂上热闹的动手操作，只是一群操作工的假探究。

如何让思维真正发生？站在儿童的立场去思考，去感受他们的困难。面对学生们对于“转化圆”的无从下手，我努力寻找与圆的面积贴近的生活原型。如果把从外太空拍摄到的地球照片上的边线看作近似的圆，那么与之对应的地球上拍摄到的地平线部分却是直的，借助这样一种曲直关系，在圆的面积转化中，抽象的“化曲为直”就有了实物经验的支撑，学生的思维从眼见为实走向想象探秘。

在想象探秘的过程中，学生静静地想，慢慢地试，充分地交流合作，运用不同方法“无限分割”，或折或剪拼或拉伸，把圆“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐逼近精确值”，这种内隐的思维在操作探索中得以生长。正所谓：脚不能到达的地方，眼睛可以到达，眼睛不能到达的地方，思想可以到达。

【教学过程及意图】

一、估计与猜想

数学的世界充满了神奇与美丽，今天我们来研究被誉为最美的几何图形——圆的面积。（板书课题：圆的面积）

学生触摸圆的面积，思考圆的面积与什么有关？

生1：半径（出示两条半径）。

生2：直径。 生3：周长。

师：古人研究圆时得出的经验是“圆出于方”，出示正方形。这个大正方形的边长是——？根据这一大一小正方形，你估计圆的面积大约是多少？（板书：r2的4倍，r3的3倍）

师：虽然看不出一个准确的倍数关系，但根据研究圆周长的经验，大胆猜测圆的面积是半径平方的多少倍？

周长是一维空间，与直径成倍数关系，面积是二维空间，与半径的平方成倍数关系，仅利用推导得出圆的面积计算公式，往往会忽视圆面积与半径平方之间的这种关系。因此，从学生已有的经验“半径决定圆的大小”出发，以一大一小两个正方形面积为拐杖，帮助学生估计圆的面积大小与半径平方的关系。虽然没有精准的答案，但这样一个大概的范围引领我们不断逼近真相。

二、猜想与验证

1.初次尝试，感受困难

师：这个大胆的猜想是否正确呢？需要我们细心求证。在大脑中搜索一下，以前我们研究一个新图形的面积时，用过什么好方法？

师：转化是一种重要的数学思想。把未知图形转化成已知图形，平行四边形、三角形和梯形都通过转化推导出面积计算公式，但是把圆转化成什么？怎么转化？值得我们思考，在小组里商量一下。

师：先说说做了哪些尝试，遇到什么困难？

生1：我们组打算转化成正方形（展示折好的图形），但是折去的这部分还是不好计算。

生2：我们打算转化成三角形（展示折好的扇形），但这个底是弯曲的。

师：以前，我们研究平行四边形、三角形、梯形时都很轻松地转化了，为什么圆那么困难呢？

生：因为圆的边是曲的，不好变直。

2.借助原型，激活联想

师：这是一个非常有价值的问题，怎样由曲变直呢？（板书：曲→直）

来看一组照片，这是从外太空拍到的地球的照片，看它的边是什么形状？这是从地球上拍到的一段地平线，什么形状？同样是地球，为什么曲的变直了？

生：因为我们看到的这段地平线只是圆上的一小部分。

师：的确，圆上足够小的一段是直的。再看咱们常吃的比萨，四份、八份，找到灵感了吗？小组里再商量一下。

全班交流转化方法。

生1：我们打算把圆折成很多份的小扇形，这个扇形会是近似的三角形。

生2：我们打算把圆平均分后拼成一个图形。

3.再次尝试，寻找联系

师：有了想法，我们就来实践。

小组探究要求

（1）小组议——把圆转化成学过的某种平面图形。

（2）齐动手——选择学具，动手操作。

（3）找联系——转化后的图形与原来的圆有什么关系。

“转化”这一重要的数学思想在前面面积计算的研究过程中已经多次体验，通过回顾方法激活学生的已有学习经验。但仅仅激活还不够，因为圆是一个曲线图形，与以往研究的直线图形有很大差别，这给学生的自主探究带来了很大困惑。在困惑之处需要老师适时地点拨引导，通过两张不同位置拍摄的地球照片比较，分比萨饼的经验，激活学生潜在的数学记忆，感悟到曲与直的关系。再借助小组合作，在交流中产生思维的火花，大胆尝试逐步解决难题。

三、操作与推理

学生展示转化的过程。

生1：我们组把圆平均分成8份，拼成了近似的平行四边形，只是这个底边还有点弯。又把圆平均分成16份，再拼，底边比刚才直了一点。

追问：想要更直怎么办？请电脑来帮忙分一分，展示平均分成32份、64份。

回头看看拼的过程，分成8份时，底边是怎样的？（用手势表示）分成16份时？分成32份时？闭上眼睛，想象分成64份、128份，分的份数越来越多，分成无限份，你脑中拼成新图形的底边是什么样的？太神奇了，眼睛到达不了的地方，思想可以到达。借助想象，我们化曲为直，把圆转化成长方形。

师：转化后，形状变了，什么没变？（板书：长方形的面积=圆的面积）

转化成的长方形和圆还有什么联系？

生：长方形的长就是圆周长的一半，长方形的宽就是圆的半径。

师：如果圆的半径是r，这个长方形的长怎样表示？宽呢？和同桌说说：根据长方形的面积计算方法怎样计算圆的面积。（板书：S=πr2）

交流不一样的转化推导方法。

生：把圆纸片对折4次，得到很小的扇形，如果继续对折，这段弧会越来越直，可以看成三角形。

师：用折的方法，把圆转化成n个三角形。那这一个小三角形的面积怎么求呢？（板书：S=2πr÷n×r÷2×n）

总结：用折成三角形的方法也推导出S=πr2，真是条条大路通罗马。回头再看看我们猜测圆的面积是半径平方的π倍，正确吗？修改为：圆的面积是半径平方的π倍。

数学思想方法是对数学知识及其探索过程理性反思的结果，是数学活动中最为本质的内核，怎样让学生感受“分割无穷多份时底边就直了”这样的极限思想呢？为了让底边更直，学生想尽办法折、剪、拼。在学生操作遇到困难，不能继续折下去和拼下去的窘境中，进行分析推理和无限想象，这种内隐的思维可以走得更远，再辅助以手势，从无形到有形，让学生用想象的翅膀触摸极限思想的神奇。

四、实践与应用

让我们走进生活来看看圆面积的应用。

1.出示例9

指出：先算5的平方。为了计算方便，还可以这样算，π不取近似值，直接用字母π参与运算。

2.出示圆形桌面

口答圆桌的面积，为了方便夹菜，在中间加了一个玻璃圆盘，这个圆盘的面积是多少？同样是求圆的面积，解决问题时有什么不一样的地方？

总结：求圆的面积一般要知道它的半径。

3.变式练习

图中正方形的面积为25cm2，圆的面积是多少平方厘米？

本片段分层练习，一是解决生活中圆的面积计算，感知圆的面积计算公式的价值，二是在变式练习中体会圆的面积与半径平方的关系，打破一定得知道半径才能求圆的面积的思维定式。

五、学习回顾

千金难买回头看，回顾今天的学习，我们是怎样得出圆的面积计算公式的？圆面积的研究过程与平行四边形、三角形、梯形有什么相似的地方？又有什么不同的地方？关于圆面积的推导，看看其他同学还有什么奇思妙想，来看一段微视频。（介绍沿半径剪开，再拉直转化成三角形的推导方法）

数学思想方法是数学学科的灵魂和精髓。在交流收获的时候注重解决问题思想方法的回顾，让学生再一次感受数学思想方法的价值，从而促进学生数学素养的形成。

【评析】

“静静地想,慢慢地试”是曹晓丹老师《圆的面积》一课的设计理念，她是这么想的也是这么做的，是曹老师的课堂留给大家的真实感受，是数学核心素养在课堂上的落地生根。在她的课堂上，我们看到的是直抵学生内心的活动、思维，不急不躁、不慌不忙，无论是操作、思考还是表达，没有赶场没有表演，给足时间，真操作、真思考、真辨析，数学思维步步展开、数学素养渐渐形成、数学智慧悄悄生长。

一、经历探究过程，直抵思维内核

课始，曹老师让学生猜想“圆的面积会和什么有关”，当学生漫无目的地瞎猜时，教师引入古语“圆出于方”，从而让学生的思维之路慢慢调整到正确的方向上来，然后结合着大、小正方形进行估计，从而得出圆的面积，这时的估计已经方向明确。接着，“圆的面积与半径有什么关系”“怎样把圆转化成学过的图形”“如何根据转化后图形与圆的关系，推导出圆的面积计算公式”三个紧密联系又环环相扣的问题激发学生的探究热情，思维在问题链中深入浅出。整个过程都是以学生为主体，教师在充分尊重学生思维发展的过程中，适时加以引导、点拨，使学生学习的方向始终清晰明确。课中能让学生探的尽量让学生去探，能让学生说的尽量让学生去说。在探究的过程中，学生思维活跃，争相交流，不断迸发出创新思维的火花，真正体会到了数学探究的魅力。

“化曲为直”、从有限进入无限等数学思想是数学历史发展的重大转折点,也是今天学生学习的难点。数学思想隐藏在显性知识的“背后”，学生需要通过教师的挖掘和亲身体验来感悟。对数学思想的感悟，体现了数学教学的“厚度”，是数学知识上升为数学素养的“最后一公里”。

二、开放交流空间，直面思维疑点

规律、公式性教学总经历这样的过程：

具体问题具体素材初步的猜想可能的结论 检验与改进 改进了的猜想 证明 结论

其中“检验与改进”往往被简单化，原因可能就是我们总是站在成人的角度观察引导。在曹老师的课堂上我们欣喜地看到，她从儿童的视角出发，在动手操作之后并不急着交流展示个别学生的成功之作，而是关照更多学生在动手操作思考中的真实困惑。“先说说做了哪些尝试？遇到什么困难？”果不其然，那些没有能在第一次操作中如转化平行四边形、三角形般轻松转化的学生，对于如何“化曲为直”有着深深的困惑。韩愈说：“师者，传道授业解惑也。”这个“惑”怎样解呢？弗赖登塔尔说：“泄露一个可以由学生自己发现的秘密，那是‘坏的’教学法，甚至是罪法。”看来直接告知，是下下策。曹老师出示了一组照片，一幅是从遥远的外太空拍到的地球全景照，另一幅是站在地球上拍到的地平线的一小段。无须多言，学生在观察、思辨中感悟到了曲与直的内在联系。正是不急于求成的心态，从理解儿童、研究儿童出发，开放交流的空间让学生可以畅所欲言，有机会真实地提出自己的困惑，发表各自的见解，为下面把圆“化整为零，积零为整”做好充分的思维上的准备。

三、凸显想象反思，直击思维品质

本课中，教者安排了小组探究，通过“小组议、齐动手、找联系”等环节，激活学生的探究欲望，在交流中共享共进，正是动手之后的动脑，敞亮内隐的认识，明晰外显的操作行为。随后组织小组展示，选取不同种类的转化方法，从“眼见”到“想象”，从无形到有形，极限思想从“实物—图像—想象—比画”的轨迹中愈发清爽和明亮。正如爱因斯坦所说：“你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还取决于你用什么样的思维，思维决定你到底能观察到什么。”

千金难买回头看，一堂课下来，我们究竟学了什么？“我们是怎样得出圆的面积计算公式的？圆面积的研究过程与平行四边形、三角形、梯形有什么相似的地方？又有什么不同的地方？”三个问题帮助学生回顾的不仅是知识，还有方法、思想。重在引导学生学会反思，提高反思的意识和水平，形成长时间思考的习惯。因为数学不是单纯的工具，而是关系到数学的文化价值，特别是人类理性精神的发展。

郑毓信教授说：“通过数学帮助学生学会思维，即将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来。”“用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学。”可见，思维是数学能力之 “核”，也是数学素养之魂。我们看到的是，曹老师的课堂上心里装着学生，她正努力带着学生“静静地想,慢慢地试”，让学生的思维不断地沉潜、沉潜、再沉潜。