跨越认知冲突 理解数学本质

黄荣德

摘要：在小学数学教学中，教师应给予学生充分经历认知冲突的空间，通过同化或顺应两种方式帮助学生达到认知平衡，运用“障碍式”跨越、“阶梯式”跨越、“爬杆式”跨越的教学策略，引导学生跨越认知冲突，真正理解数学的本质并建构自己的知识体系。

关键词：认知冲突；数学本质；形式模仿

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）07B-0064-04

当学生原有的认知结构一时不能同化、接纳眼前的新知时，或新的信息与其原认知结构不相符合时，或动用、调集了全部已有的知识经验、方法后仍不能解决面临的问题时，他们便在心理上生成一种强烈的矛盾冲突，即认知冲突。在数学课堂上，时常有教师预设不到学生的认知冲突点，或为赶教学进度，采用回避掩盖的方式，将学生的思维强拉到“教”的轨道，不留给学生经历认知冲突的机会，以至于学生的“学”进入不了深度的思考状态，流于形式地“掌握”知识点。

心理学家皮亚杰认为：“个体的认知发展是在认知不平衡时通过同化或顺应两种方式来达到认识平衡的，认知不平衡有助于学生建构自己的知识体系。”[1]因此在数学教学中，教师应给予学生充分经历认知冲突的空间，引导学生经历和跨越认知冲突，实现从“形式模仿”到“本质理解”的教学目的。

一、“障碍式”跨越

学生在面对一个新的数学问题时，通常会根据认知经验来解决问题。但是学生此时的经验是较为形式化的，当新的问题与原有经验之间既有联系又有着质的不同时，学生往往只会形式模仿，而忽略了问题的本质所在。

以教学苏教版五年级上册“小数乘整数”为例：

（1）夏天西瓜每千克0.8元，买3千克需要多少元？

（2）冬天西瓜每千克2.35元，买3千克需要多少元？

解答列式分别为：0.8×3，2.35×3。面对“0.8×3=？”这样新的数学问题，学生根据已有的小数加减法和整数乘法的运算经验，自然地会将0.8元转化成8角进行计算，有的则用3个0.8相加进行计算。但当学生尝试用竖式计算时，经验同化的同时，形式模仿也随之产生。

图1是一个典型的形式模仿的例子。学生首先想到小数加法在列竖式时需要将小数点对齐，于是先将整数3添上小数点改写成一位小数3.0，形式上完全模仿3+0.8的竖式。接下来又转换经验，模仿整数乘法的方法，按照整数乘法8×3算出积24，然后再回到小数加法的经验，将计算结果的小数点和竖式中的小数点对齐，于是得到2.4。

在教学中，由于这一课时涉及的都是小数乘整数，教师往往会忽略学生的这个认知冲突点，按部就班地解释算理：0.8是8个十分之一，8个十分之一乘3得24个十分之一，所以积是2.4。在经过了类似的一些小数乘整数的例子后，让学生观察乘数中的小数位数和积的小数位数，“顺利”地总结出小数乘整数的计算方法：先按整数乘法的方法算出积，然后看小数乘数的位数是几位小数，那么积就有几位小数。至此，教师误以为学生已经理解算理并掌握了算法。而事实上一节课下来，学生形成的错误经验是：“不必这么麻烦，小数乘整数和小数加法一样，只要对齐乘数和积的小数点就可以了”，正如图2中学生看到的那样，积的小数点只要和乘数的小数点对齐，那就是正确的结果，无一例外。不言而喻，看似本节课学生掌握得很好，而事实上，学生只是对原有认知的形式模仿，形成的是不完善的新认知结构。

上例中，当学生利用原有经验对新的问题进行同化并进行形式模仿时，往往不能察觉其中的异质因素，需要教师设置一些障碍，让学生明显感受到原有认知结构的不完善，需要进行调整和更新，于是主动设法在新旧知识之间架起一座桥梁，从而真正理解和获取新知，发展思维。

如图1、图2中，因为都是小数乘以一个一位数的整数，所以学生根据小数加减法和整数乘法的经验进行形式模仿时没有遇到任何障碍。而一旦将算式中的数变化一下，让学生计算一个小数乘一个两位数的整数，那么学生经验中的不完善之处就暴露出来了。于是，教师在此处设置“障碍”，让学生尝试计算2.15×13（如图3、图4所示）。

显然图3中，学生依然是模仿小数加减法列竖式的方法，将乘数中的小数点对齐，然后将整数部分相乘，小数部分相加。而图4中，经过老师的引导，学生已经在列竖式时将乘数的末位对齐了，也迁移了整数乘法的经验进行计算，但是在小数点的处理上又回到了原有加法的经验，结果中的小数点要和乘数中的小数点对齐。

在以上的尝试计算过程中，学生的思维正经历着一种想往前跨越的趋势，但是因为在例题（1）中形成的不完善的认知，导致在这个变式的尝试练习中，学生明显感到困惑，一边计算一边怀疑算法的正确性。抓住这个关键时机，教师只要让学生从小数的意义的角度再深入一步地讨论：如果把2.15×13看作整數乘法，那是多少乘多少？215×13应该怎样计算？三位数乘两位数的整数乘法在计算的时候是怎样计算的？最后再讨论：得到的整数积应怎样处理就可以得到正确的结果了呢？

一方面由于学生已有小数乘一位数的算理经验，明确了思辨的方向；另一方面由于变式练习题比例题复杂，没有例题中0.8×3、2.15×3与加法计算的“巧合”，此时学生确信地得出“对于小数乘整数，先按照整数乘整数的方法算出积，然后看乘数中的小数是几位小数，得到的积就是几位小数，最后点上小数点”的结论。

二、“阶梯式”跨越

学生在对经验进行同化和迁移的过程中，有时会遇到一些很难一步跨越的冲突点。在学生经验的断层处，教师需要顺着学生思维行走的轨迹设计合理的阶梯，让学生在经历冲突的过程中“拾级而上”。

如学习苏教版三年级下册“两位数乘两位数”时，学生的认知基础是两位数乘整十数的口算和两三位数乘一位数的竖式计算的相关方法与经验。面对24×12，结合情境图（如图5所示），学生很容易掌握口算的方法和算理。先算10箱南瓜的个数：24×10=240，再算2箱南瓜的个数：24×2=48，然后把两部分加起来算出24箱南瓜一共的个数：240+48=288。但是在接下来的尝试竖式计算时，有相当多的一部分学生的算法是将个位上的数字4和2相乘得8，将十位上的数字2和1相乘得2，合起来是28（如图6所示）。在这个错误的计算过程中，学生直接将两位数加两位数的方法迁移到乘法中来，进行形式上的模仿：数位对齐，将个位和十位上的数字分别相乘，所得结果与口算结果明显不符。

学生为什么不将口算乘法的算理和算法迁移到竖式计算中来呢？原来在这个算法中，学生思维的干扰点主要在于竖式的结构从“一层楼”到“两层楼”的跨越：即原来两三位数乘一位数，竖式是单层的，只要用一位数分别和两三位数上每一位上的数相乘，而两位数乘两位数的竖式结构要建立两层。对此，学生“冲突”之一是分不清两两相乘的顺序，“冲突”之二是不知道如何将两次相乘的结果合在一起。此时，教师需要搭建阶梯，逐步引导学生在经历从“形式模仿”到“本质理解”的过程中化解和跨越“认知冲突”。

上例中，学生根据情境图直观地用口算的思路和方法計算出24×12的结果，那么学生需要的阶梯是将口算中的三个步骤分别转化成竖式（如图7所示），然后再拾级而上，将三个竖式合并成功后，再将竖式简化（如图8所示）。

这样，有了图7的这层“阶梯”，学生就厘清了解题思路，然后将分解的竖式合并成图8，顺利地从“一层楼”的竖式跨越到“二层楼”的竖式（见图9）。

显然，当学生凭着已有的认知经验无法直接跨越认知冲突时，通过教师搭建的阶梯，能够清晰地看到自己需要跨越的“冲突点”，进而在理解知识点本质的基础上实现经验的更新。

三、“爬杆式”跨越

在学生的认知结构中，对数学概念的认知往往有一种自我建构的“特有路线”。在学习一个新的数学概念时，学生常常会沿着对已有概念的认知“顺杆而爬”，而在这过程中，学生也会经历“认知冲突”。如果教师预设的“杆”符合学生的“特有路线”，那么学生的思维就能够自然地跨越“冲突”，顺“杆”而上。

如学习苏教版三年级上册“分数的初步认识”时，学生需要顺着已有的“整数概念的认知体系”这根“杆”往上生长，即数是表示物体个数的，是“整”的，可以表示具体的量的多少。然而在实际教材中，更多的是从“部分与整体的关系”这个角度初步建立分数的概念的（如图10所示）。

显然，在这个新、旧知的转折口，学生会产生比较强烈的认知冲突：把一个蛋糕平均分成2份，每份是半个，这“半个”是这个蛋糕的。学生介于这“半个”蛋糕和“这个蛋糕的”之间而认识一个跳出整数范围的新知——分数，在接下来的教学模式中也是沿着“把一个物体平均分成若干份，其中的一份就是它的几分之一”的思路建立对于分数的初步认识。在教学结束时，笔者向学生提问本课的收获时，得到的最多回答是“我学会了怎样把各种物体平均分。任何物体都是可以平均分的，平均分后都可以用分数表示”。从中可以看出，学生对于“分数与整数一样，都是一种数，也可以表示量的多少”的认识不够。原因在于，教师在提出分数的概念时，没有让学生顺着原有的“认知体系杆”往上“爬”。在这样的新知导入中，学生建立的分数概念的“胚芽”是不完善的，这样的“胚芽”也不利于学生今后对于分数概念的进一步学习。

为此，教师需要厘清学生认知体系的“杆”：将一个蛋糕平均分成2份，每份是这个蛋糕的“一半”，是“半个”。“一半”和“半个”是学生的生活经验，也是学生从整数体系跨越到分数体系的重要链接。因此，在教学一开始，教师可以顺着学生头脑中的“半个”而引出分数。从学生熟悉的整数入手，将4个月饼平均分成两份，每份是2个，把2个月饼平均分成两份，每份是1个，把1个月饼平均分成两份，每份是“半个”，从整数到不能用整数表示，引出“半个”也可以用一个新的数来表示，即个（如图11所示）。接下来，让学生继续自己举例，从半个（个）继续认识块、根、 袋……这样从“分数也是数，也可以表示具体量的多少”这个角度，让学生的思维自然顺着原有的认知体系的“杆”继续往上生长，从而也自然地跨越了学生在初次接触分数概念时的认知冲突。

教学过程本应是包容学生认知冲突不断的过程，引导学生经历和跨越冲突既是教学的灵魂和精髓，也是提高学生思维能力的原动力。[2]在以学生的自主探索为主旋律的数学课堂上，教师应更多地关注学生思维参与的深度，注重学生知识获取的过程，在引导学生深度经历认知冲突的过程中让其自然地跨越冲突，从而使其自主完善原有认知并建立新的认知体系。

参考文献：

[1]赵绪昌.引发学生认知冲突的教学策略[J].中学数学研究，2014（12）.

[2]陈贻胜.断砖可为玉 点石能成金——例谈数学教学中形成认知冲突的策略[J].教育实践与研究（A）， 2011（6）.

责任编辑：李韦

Abstract： In primary school mathematics teaching， teachers should offer students enough space to go through cognitive conflicts， and by adopting the ways of assimilation and accommodation help them strike the balance of cognition. Meanwhile， teachers may employ the teaching strategies of crossing obstacles， ladders and pole-climbing to guide students to cross cognitive conflicts so that they can truly understand the essence of mathematics and construct their own system of knowledge.

Key words： cognitive conflict； mathematical essence； form imitation