设点还是设斜率

徐萍

例 过点P（2，1）的直线z与直线y=x+2，直线y=-x+2分别交于A，B两点，若点P为AB的中点，求直线l的方程，

已知什么？点（2，1），点P是AB的中点，这是关键词，

怎么运用“P是AB的中点”？利用中点公式：（xA+XB）/2=XP

怎么求出A，B的坐标呢？它们是直线与直线的交点.可以联立直线，构建方程组，但是直线l的方程不知道，

已知一个点，选择点斜式表示直线方程，就需要设直线l的斜率为k，当然设斜率为k之前，必须先说明斜率不存在时的情况，

斜率不存在时直线l为x=2，A（2，4），B（2，0），不满足P为AB的中点，则设直线l的斜率为k，即y=k（x-2）+1，可联立方程组求出XA=（2k+1）/（k-1），xB=（2k+1）/（k+1）.

因为P（2，1）为AB中点，则（2k+1）/（k-1）+（2k+1）/（k+1）=2 x 2，从而可求出斜率k.

当条件中已知一个点，大家选择点斜式表示直线方程，那就要根据条件列出方程求斜率，

再思考下，还有其他做法吗？确定直线，除了一个点加斜率，还可以找两个点.可以设点A，B的坐标，列出两个方程.设直线l与直线y=x+2的交点A为（x1x1+2），与直线y=-x+2的交点B为（x2，x2 -x2），则

（x1+x2）/2=2.

（x1+2）+（2-x2）/2=1.

当然也可以只设一个未知数，用A表示出B，再利用B在直线上，列出一个方程，设直线l与直线y=x+2的交点A为（x0，x0+2），则直线l与直线y=-x+2的交点B为（4-x0，-x0），又交点B在直线y=-x+2上，则-x0=-（4-x0）+2，得x0=1，点A坐标知道了，直线方程就可迎刃而解，

对于例题，所求直线的几何性质对解题没有明显直观的帮助作用，只能选择代数办法，而根据条件选择直线方程形式的时候，显然应选择点斜式，这种解法其实就是将题目中的条件按序翻译成代数语言，直至问题解决！

变式1

把条件中的“P是AB的中点”改为“AP =2 PB”，怎么求直线方程呢？

这时A，B，P三点坐标间有什么关系呢？推导出3xP-xa-2xB =0，3yp-yA-2yB =0，由此求出A，B坐标，解方程；或者设A坐标，解出B的坐标，代人，都可以！大家可以自己算出结果，

变式2 过点P（- 1，2）的直线l与z轴，y轴分别交于A，B两点，若点P为AB的中点，求直线l的方程.

这道变式题的关键是刻画中点.可以设截距（也就是设点），也可以设斜率确定方程求出截距，再列出方程！当然还可以直接求出截距！这道题目选择两点式、截距式、斜截式、点斜式都成！

变式3 过点P（-4，0）的直线l与圆C：（x-1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为

_______________.

这道题目已知直线上的一个点，要求的是直线方程，这时需要思考的是，是设斜率呢，还是设点？我们可以稍微权衡下，哪种做法比较简单，能迅速地解决问题，

如果设斜率，那么先考虑直线斜率不存在时，看是否符合题意；再当直线斜率存在时，设为k，直线方程为y=k（x+4）.

怎么刻画点A是PB的中点呢？利用中点公式可以得到点A，P，B三点之间坐标的关系，记作（*）式，

点A的坐标怎么求？联列直线和圆的方程，得到关于x的一元二次方程，求出方程的根，代人（ *），构建关于k的方程，

当然了，选择这样的思路，还可以设A为（x1，y1），B为（x2，y2），借助于韦达定理与（*）式，去求出k的值，

不着急动笔做，再想想其他思路，

如果设点，比如设A为（x1，y1），两个未知量，需要兩个方程，一个方程是A满足圆的方程；还有一个就是利用点A是PB的中点，用x1与Y1表示出B点的坐标，代人圆的方程，构建第二个方程，解方程组，求出A的坐标，从而得到直线方程，

有了思路，问问自己，这两种做法中，你会选择哪一个呢？理由呢？当然，这道题还可以借助圆的几何特征来做，过圆心做直线的垂线，构建两个直角三角形，利用勾股定理，求出圆心到直线的距离，再由直线方程y-k（x+4），求出斜率k.说到底，还是设斜率，只不过利用几何特征得到关于k的方程！

直线中，当只给定一个点时，要去求直线方程时，可以设直线的斜率，也可以设直线上的一个点，根据条件，列出方程（组）.一般来说，不管哪个思路都是可行的，大家需要做的，就是去选择最适合的方法！