解题篇：折出问题的答案

2018-11-20

新高考·高二数学 2018年1期

关键词：辅助线平分线折痕

【编者的话】折纸是人们业余生活中喜闻乐见的一项娱乐休闲活动.但是在常博士这里，它还有助于某些数学题目的求解.这真是令人意想不到的好事！

那就让我们一起去看看吧，希望能对你的数学学习有所帮助.

平面几何是一门较难的学问，因为一题一个解法，且辅助线不易想到，下面就是一道有一定难度的问题：

题目一

如图1，已知等腰直角三角形△ABC以及经过直角顶点A的直线EF.如果BE∥CF，求证：AE2+AF2 =BE2+CF2.

分析此题目，与证明有关联的4个量似乎离得比较远，尤其EB和FC这两条线段.再来看结论像是和勾股定理有关系，但是图中并没有含这些边的直角三角形，所以我们知道此题不添辅助线是断难解出的，

但是如果我们用折纸来找思路，可以绕开辅助线，直捣黄龙！将图1打印在纸上，剪下来把玩一番（打印机不凑手，可以画一个图来剪）.通过折叠我们容易发现，可以让BE，EA，AF，FC这四条边“聚首”：将AB折到AC上，同时外翻AB，AC成山折，结果如图2.

通过这些折纸的操作，原来的三角形ABC不见了，出现了一个新的四边形AFCE.所证的结论转化为证明∠EAF=∠ECF=90°，这个是不难证明的.证明留给读者了！

无独有偶，我们再看一题，

题目二

如图3，△ABC中，M是BC中点，ME⊥MF，且ME =MF.求证：AE2+ EB2 =AF2+ FC2.

如同第一题一样，需要构造直角方能利用勾股定理.故技重施，打印图形来把玩一番吧！结果发现，如果照下面四步折，问题的答案就浮出水面了.

1.过EF折一道山线，将角A折到后面.

2.过EM折一道谷线.

3.过MF折一道谷线，这时角B和角C翻折后会合为一点（为何能会合？）.

4.将纸片翻过来，

现在，我们从图4的示意中看到结果是一个四边形，并且有两个相对的角是直角.于是和第一题一样，问题迎刃而解了！证明过程留给读者.

题目三

已知△ABC中，∠A =100°，∠C=30°，在AC上截取AD =AB，连结BD.求证：BD =AC.

同上题一样，貌似简单的题目一碰即知其难啃的本质.不过当纸片在手，任人“折磨”的时候，难题不免要低头了.怎么折呢？常规思路是把两条要证明相等的线段化到一起去比较.所以最自然的想法是折出∠ABD的角平分线将AB（长度等于AD）搬到BD上；同时，折出∠CDB的角平分线，将CD搬到DB上，结果发现如图6的现象.

实验不但佐证了结论，也给了我们进一步探寻的方向：两个折起的角碰到一起的地方有什么讲究？打开纸片，折底边中垂线，发现折痕刚好经过会合点.

最终，我们尝试发现有三个全等的等腰三角形（△ABG，△FBG，△CFD），如图8所示那样嵌入到三角形ABC中.BD边上放置了底边和一腰，而AC=AD+DC正好也等于该等腰三角形的底边和一腰.至此问题全部解决，

简证：在AB边上向内作等腰三角形ABG，使得∠ABG=∠GAB=20。.沿着BG翻折△ABG得到△FBG，则F在BD上（为什么？）.同时折痕BE交AC于E.

连结EF，易证∠AEB=∠BEF =60°，所以EF平分角∠BEC.又∠EBC=∠C=30°，故EF是等腰△BEC的对称轴.沿着EF翻折△BGF得到△CDF.至此通过翻折两次我们得到了三个全等的等腰三角形.剩下的就是简单的算术题了，

题目四

如图9，在△ABC中，∠A=20°，AB=AC，∠BCD=50°，∠CBE=60°.求证：∠BED=30°.

此题看似友善，但却是名副其实的难题，在网上流传甚广.有人用角格点来归类，用正弦定理来求解.也有的人添正三角形辅助线来求解.无论如何过程和方法都不简单.

然而，如果用折纸来探寻解题思路，就会有如庖丁解牛般“秒杀”.

步骤：

1.打印这个图，剪下备用.

2.试着找找纸片的形状中隐藏的等量关系.不经意间你会发现BC =BD.发现这个相等量只要折出∠ABC的角平分线便可发现C，D重合（当然，证明也很简单）.如图10.

3.这时，敏锐的观察者会有一个发现：如图11所示，这里有了三个60°角（为什么）！