数学问题到底如何审

董裕华

我们先来做个审题能力测试，看看你的实力到底怎么样.

你对测试结果满意吗？这个测试有意思吗？

其实，这个测试是借用了小学数学特级教师华应龙老师的测试方法，我也测试了多次，发现年级越高，学生的测试结果反而越不理想.为什么？

因为我们的思维已经被固化了.长期被动应付让不少同学形成了陋习，把自己当成知识的容器，只会机械模仿，缺乏变通和创新的意识和能力.

要提高审题能力，关键靠自己感悟，靠平时积累，

那么，数学问题到底该如何审呢？我们不妨从上述测试题5开始分析：

例1 如果锐角三角形ABC的外接圆的圆心为0，求0点到三角形三边的距离之比.

答题分析 本题的通常思路是先设出三角形的三边长分别为a，b，c，o点到三边的距离分别为ha，hb，hc.

则S△AOB=1/2c·hc=1/2oA·OB.sin∠AOB=1/2R2 sin∠AOB，所以hc=R2/csin∠AOB=R2/csin2C= 2R2·sin/c·cosc=Rcosc.

同理，ha=Rcos A，hb=R cos B.

所以ha：hb：hc=cos A：cos B：cos C.

重新审题：题目所给的条件有什么启示？为什么没有给边长？原来不给边长就是不需要用边长表示.因此.关键是要找出距离与角的关系！如图1，OD为AB边上的高，则∠AOD=∠C，OD/OA=cos∠AOD=cos C，故hc=R cos C.领会了命题者的意图，整个解题过程方向明确，运算量明显减小，

这个题目的解答过程验证了命题老师常挂在嘴边的一句话：多考一点想，少考一点算，

例2 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ -1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x≤0，（x+2）/（x+1），0≤x≤1，其中a，6∈R.若f（1/2）=f（3/2），则a+3b的值为 ______.

答题分析 这道题最关键的问题是能否看出分段函数与函数的周期的关系，其实，所给函数的区间长度为2，正好等于函数的周期.

因此，f（-1）=f（1） ，1-a=（2+b）/2， b=-2a.

这就是审题能力！

题目本身是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看清题意.审题是整个解题过程的“基础工程”，必须综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据，解题实践表明，条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向.凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽给予的，只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕慢.

那么，审题可以从哪些方面着手？

一、挖掘题目的隐含条件

条件是解题的素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路，审视条件最重要的是充分挖掘条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能，

例3 已知o≤α<β<γ<2π，且sin α+sinβ+sinγ=0，COSα +cosβ+cos γ =0，求β-α.

答题分析

由已知得

sin α+sinβ=-sinγ

①

COSα +cosβ=-cos γ

②

①2+②2得2+2（sinαsinβ+cos αCOSβ）=1，故cOs（β-α）=-1/2.

由0≤α<β<γ<2π，知0<β-α<2π，所以β-α<2π/3或4π/3.

评注 题目中α，β，γ的地位是平等的，为什么还要强调α<β<γ呢？这就说明γ还有文章可做，因为同理可得γ-α=2π/3或4π/3.由于β<γ，故β-α<γ-α，此时只能有一种情况：β-α=2π/3，γ-α=4π/3条件再推敲，终于发现了隐含的秘密.

二、捕捉图形的特征信息

不少数学试题的条件是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，抓住图形特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解此类问题的关键.

三、强化数式的结构研究

数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到问题的突破方案，

四、读懂题设的图表数据

题目中的图表往往包含着问题的众多基本信息，也常常暗示着解决问题的目标和方向.在审题时，认真观察分析图表数据的特征和规律，可以找到解决问题的思路和方法.

例6某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）

A.計算机行业好于化工行业

B.建筑行业好于物流行业

C.机械行业最紧张

D.营销行业比贸易行业紧张

答题分析 本题的数据太多，让人眼花缭乱.哪些数据真正有效？要紧扣定义“排行榜”.这里的排行榜都是按照不同行业应聘和招聘人数从高到低排序的，榜上无名的行业应聘和招聘的人数一定低于榜上的最低数，比较两组数据，发现上一组缺少建筑和化工，下一组缺少物流和贸易，显然建筑和化工业应聘的人数必定少于65280人；物流和贸易招聘的人数必定少于70436人.有了对题意的准确把握，答案就一目了然，为B.

评注 本题看似数学味不浓，但审题要求高，首先要看清图表，理解数据特征，中学生、小学生都可以做.但中学生做的情况未必比小学生好.

目前，大多数人在审题问题上的缺陷主要有：题意的理解不清，解题的方向不明，思维定势消极影响，审题信心不足，不注意总结反思，一错再错，思维能力欠缺.

怎样才能提高审题能力呢？

一是要找出审题不清的根源.每个人审题的缺陷都不一样，要有针对性的补救措施，

二是要掌握审题的方法.审题一般分为四步：

1.初审.弄清已知条件和解题目标.可从以下几个方面着手：

（1）有哪些已知条件？

（2）解题的目标是什么？要求是什么？

（3）如果能画图，应画一个图，并在图中标出必要的条件和数据，画图的过程是一个熟悉问题的过程，是一个对已知条件和解题目标的再认识的过程.

2.再审，挖掘隐含信息，很多数学问题对有些隐含的信息是省略的、未表述的，或寓于概念，或存于性质，或含于图中，这些信息往往是突破难点的抓手.隐含的信息常常隐藏在关键的字词中，只要抓住关键字词就会使已有知识和问题联系起来，进而找到解题的突破口.

3.三审，联系与转化，许多数学题给出的初始状态或目标状态的形式比较复杂、繁琐，审题时不能只停留在原题信息上，要善于抓住关键信息将其转换，将其转换成熟悉和易解的问题，使数学问题化繁为简.不妨看看：

（1）已知条件和所求结论有什么联系？

（2）根据已知条件和所求结论，是否想起一个与之有联系的概念、性质或定理？

（3）可以把已知条件或结论转化成什么新的条件或形式？

4.四审，一旦解题遇到困难时，要重新认真审题，看看有无遗漏的条件和数据，可以再问问自己：

（1）是否利用了所有已知条件？有没有遗漏？

（2）是否考虑了所有与条件、结论有关的概念，性质和定理？

（3）能否想起一个与现在的问题有关，且熟悉的问题？

——选自《减负增效学数学》，江苏凤凰教育出版社出版