椭圆离心率问题的求解策略刍议

晏小月

摘 要：离心率是描述圆锥曲线形状特征的一个重要指标，其内涵丰富且綜合性强。椭圆的离心率是椭圆的一个重要几何性质，它是反映椭圆形状即圆扁程度的几何量。椭圆离心率的求解与应用是各级训练测试的热点之一，学生应抓住题目关键，掌握相应方法，加深对椭圆几何性质的理解与掌握，提高数学解题能力。

关键词：椭圆离心率；数学教学；求解策略；三角函数；几何方程

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2018）30-0072-02

一、前言

椭圆的离心率是描述椭圆“扁平”程度的一个重要的量，而求椭圆离心率的取值范围问题在各级各类试题中屡见不鲜。椭圆离心率问题不仅涉及椭圆的定义、几何性质、方程、向量、直线与椭圆的位置关系以及三角函数等多方面知识，综合性很强，同时解题过程中还考查学生的思维能力、运算能力、知识的综合运用能力和数学方法选择能力等。椭圆的离心率e是反映椭圆的扁平程度的一个几何量，当e越接近于1时，c越接近于a，b越接近于0，椭圆越扁；当e越接近于0时，c就越接近于0，b越接近于a，椭圆越圆；当e为0，即c=0时，椭圆就变为圆（即e越小，椭圆越圆）。在椭圆离心率的求解问题中，经常考查椭圆的标准方程、椭圆的性质、直线与椭圆相交问题以及向量的运算等相关知识。本文根据解答椭圆离心率的几种方法对求解策略进行归纳。

二、例题解答

例1，如图，在平面直角坐标系x0y中，F1、F2分别是椭圆 + =1（a>b>0）的左右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C。1）若点C的坐标为﹙ ， ），且BF2= ，求椭圆的方程；2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值。

解：∵已知B（0，b），F2（c，0）在直线AB上，∴能够得出直线AB的方程为 + =1。然后将这个方程代入椭圆方程，得 x1= ，y1= ；x2=0，y2=b。∴得出点A的坐标为（ ， ）。又AC⊥x轴，∴根据椭圆的对称性可以得到点C的坐标为（ ， ）。∴得出直线F1C的斜率为 。∵已知直线AB的斜率是- ，而且F1C⊥AB，∴kF1 C·kAB=-1。已知公式b2= a2-c2，∴得到a2=5c2，∴e2= ，开根号得e= 。

本题解析：上述这种解法的思路自然，但是运算过程含有字母的二元二次方程组以及方程式的化简，运算比较复杂，因此在计算的时候要仔细，以免造成误差。

例2，如图，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 =2 ，求C的离心率。

解：可以假设F是椭圆的左焦点，B是短轴的上端点。以直线l为左准线，作：BB1⊥l于B1， DD1⊥l于D1，DM⊥BB1于M， 假设∠BFO=θ，∴可以得出BB1= ，DD1= ，由此可以推出BM= = ，∵BM=BD·cos∠MBF=3DF·cosθ=3DF· =3 ，∴能够得到 =3DE·e，最后解得e= 。

本题解析：本题考查椭圆的焦点弦知识，这类问题可以根据圆锥曲线统一定义来解答。

例3，如图，已知椭圆 + =1（a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，弦AB过左焦点，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点坐标为（x1，y1），（x2，y2），且|y1-y2 |= ，求椭圆的离心率。

解：已知△ABF2的内切圆周长为2πr=π， ∴可以求得圆的半径r= ， 把得到的数值代入公式S△ABF2= 4·a·r=a， 可以得出S△ABF2= |F1 F2 | |y1-y2 |=c|y1-y2 |，∴进一步计算得出a= ，即得e= = 。

本题解析：此题考查的是椭圆知识与圆的知识相结合的问题，在解题的过程中要同时运用椭圆和圆的相关公式进行解答。

例4，如图，在椭圆 + =1（a>b>0）中，F为右焦点，四边形OFAB为菱形，求椭圆的离心率e。

解：∵四边形OFAB为菱形， ∴可以得到条件AB∥FO，AB⊥y轴，假设菱形边长为c，连结AO，根据椭圆的对称性可以得知，OA=OB=c，∴△AOF为正三角形，∴得出点A坐标为（ ， c）。把点A坐标代入椭圆方程，可以得到 + =4，把公式b2= a2-c2代入，得 + =4。进行化简，可得4a2-8a2c2+c2=0，进一步计算，得e4-8e2+4=0。∴e2=4-2 =（ -1）2，即得e= -1。

本题解析：这道题结合菱形的相关知识可得到一些题干暗含的条件，从而结合椭圆的公式进行计算，相对简便容易计算。

例5，如图，已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的范围。

解：根据题意可得两个等式， （PF1+PF2）2=4a2， PF12+PF22-2·PF1·PF2·cos60°=4c2。把两个等式相减，整理可得，PF1·PF2= b2。∵PF1·PF2=≤（ ）2，∴ b2≤a2，即 （a2-c2）≤a2，最后解得e≥ 。

三、结语

离心率既是描述椭圆的一个重要几何量，又是椭圆的定义、方程、几何性质的一个交汇点。椭圆离心率知识的考查一般与三角函数、几何方程、直线与椭圆的位置这些知识点紧密联系，因此在解题过程中学生要发散思维，寻找不同的思路进行尝试。这样既能加深学生对椭圆几何性质的理解与掌握，又能培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，使学生在学习椭圆离心率的同时提高数学素养。

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