对微积分中导数“”的探究与教学反思

☉江苏省梁丰高级中学 彭印玲

一、问题提出

作为青年教师，笔者除了熟悉普高数学教学，也从事AP微积分教学.AP（Advanced Placement）课程是美国大学理事会主持，在高中阶段开设的具有大学水平的课程，它可以使高中学生提前接触大学课程，避免了高中和大学初级阶段课程的重复，也就是通常所说的大学预修课程.在4年AP微积分教学经历中，很多学生在进入美国高中甚至大学后，经常给笔者留言，提出疑惑：“老师，到底什么是dx，求导是什么意思？”

学生在国内学习微积分时，没有提出这样的问题，到了国外却问了这样的问题，是平时教学的忽略，还是知识建构出了错？带着这样的困惑，在今年的课堂中特别留意求导符号章节的教学.在基础班与实验班随堂小测试中发现，学生对求导符号处于一种矛盾状态，一方面，在解题时能够灵活应用公式求解，另一方面，对公式的由来虽然存在困惑，但也因为课程快进度问题直接不想问.特别在讲解复合函数的链式法则时，两个班的学生私下里不止一次提问，“老师，为什么还要再乘另外一个函数的导数，这样直接约分可以吗？”

二、问题追源

课堂使用的教材是新东方《AP calculus第二版》［1］，书本在46页中首次引入导数符号，认为y′，是相等的，没有任何的解释说明.导数的知识不仅在AP中有涉及，在普高数学教学中，也有相应的知识点.苏教版高中教材选修2-2［2］，教材中对导数的记号，只提出f′，y′这样的记法，教参中也没有提及的写法.而高等教育出版社出版的《数学分析（第三版）》［3］，教材第五章导数和微分章节中，对是一个整体，也可以理解为施加于y的求导运算，在学过微分后可以将这个算式认为是一种商”.这样的结果也让笔者困惑，在讲解导数时，需要提供两种不同记号吗？是否有必要两种方式都讲解呢？

带着疑惑，在日常的一节数学课的课前一分钟，笔者在班级中做了一个小调查，“你认为导数定义中的代表什么意思？”全班，没有一个同学回答这个问题，甚至是日常作业与测验正确率都在90%以上的同学，都说不知道……

三、问题探究

导数的这两种记号到底是什么意思？在教学中应该如何设计处理？dy，dx到底是什么？学生为什么会出现理解的问题，出现问题的原因是什么？带着班级小调查的结果，笔者与办公室同事展开多次教学研讨.

同事中持有两种不同的意见，一种认为导数dx中的d取自求导derivative的首字母，dx是一种标记，认为是一种简略的写法，理由是：北京王府学校的校编教材《AP calculus》［4］中有写道：“微积分是由外国人（牛顿和莱布尼茨）创立的，所以导数中的d是由英文derivative翻译过来的.”另一种认为dx代表Δx，d是差值Δ（delta）的缩写，理由是：函数图像上某点的导数中，导数是当差值Δ无限接近0时的一个值.从几何意义上理解，导数是曲线上一个点无限接近另外一个点时，由割线的斜率变为切线斜率的过程，切线的斜率即是某个点的导数值.从这个角度，认这两种观点从本质上讲没有什么错误，在教学中到底应该详细讲述比较好，还是一带而过比较妥当？

由于AP微积分是美国大学先修课程，为此，笔者专门找了好多美版教材来研究，在两个教材中找到一些实质性的说法.

CENGAGE LEARNING出版的《Calculus of a single variable for AP》［5］第59页中这样陈述：作为对f′（x）补充，通常会用示函数y=f（x）的导数.最常见的一种是极限的表示：

另外，在美版教材Jon Rogawsk《iCalculus》［6］130页中，对两个记法给出了历史的证据：书中认为导数的记法，y′是由拉格朗日（法国数学家1736-1813）提出的，另外一种写法则归功于莱布尼茨（德国数学家1646-1716）.书中对导数的后一种写法给出更加准确的说明：不应当将认为是dy除以dx，表达式中的dx，dy均是微分算子，它们在线性估算及更进一步的微积分计算中起了一定的作用，但是在这里，教学中仅仅将它们看成一种符号，而不是单独的个体.同时，书中对选择用作为导数符号提出了一些看法，总结如下：

（2）这样的记法，方便看出函数求导时的变量，如果自变量不在是x，而是时间t时，学生们可以记

四、教学设计

针对这个知识点在教学设计时笔者提出三个层次的说明：第一，说明导数的极限定义，理解的关系；第二，通过改变变量，体现三，在链式法则中，通过复合函数的变量改变，更进一步理解导数的定义.

在实际课堂中，利用几何画板展现从割线到切线无线逼近的过程，并设计增加变量改变等课堂小“陷阱”.

通过两个班的实际教学课堂对比后，对微分算子的理解从原本的21%，上升至60%，课堂实验效果比较理想.

根据美国心理学家洛钦斯提出的首因效应，笔者做出假设，在初次课的时候，能够按照这三个层次教学，在讲授链式法则时再次巩固，学生对此的困惑必然会减少很多.这个实验也将在今年的教学中继续实践.

五、教学反思

在查阅资料中发现，国内高中教材中对“dy，dx”的标记方法没有特别的说明，这应该源于高中数学课程标准中，对导数的要求：“对导数概念的理解，是通过实例，让学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而了解导数概念的实际背景及瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.”

在新一轮高考改革之际，课程标准也做出了改变，对学生提出应该掌握的基本能力，已经由最初的基本知识、基本技能拓展为基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；并要求学生掌握四种能力：掌握数学基础的能力、训练数学基本技能、领悟数学基本思想、积累数学基本活动经验.

“四基四能”要求的提出，是对学生更高层次的要求，同时也是对老师提出的更高要求.从微积分课堂小困惑中，笔者发现，教学应该有前瞻性，要有全局观.在教学中也应该改变自己的上课理念，充分备课，对同一知识点，在学有余时，多翻翻其他教材，对学生提出的问题多几番思考，不仅仅是对学生提问积极性的鼓励，更是对教学的一种深入研究与反思.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.