高三复习中的“微型专题”——以“高考中的正余弦函数”为例

☉上海七宝中学 文卫星

“微型专题”是高三复习课中的一种常见形式，“微型”的“微”是见微知著，是知识、技能、思想方法的浓缩，虽然题量少，但思维量不小，思想方法不少.专题是对一类特定问题，“微型专题复习”是一种高效的复习形式，这类问题往往能一题多解（培养学生的发散思维能力），或多题一解（培养学生的概括抽象能力），还要能总结出一定的解题规律.由于一节课教学内容要集数学思想和解题方法于一体，对选题要求较高.

近年高考三角对逻辑推理要求较高的试题集中在正余弦函数，涉及求ω和φ的值或范围、周期性、单调性、图像平移等知识点.本课对这些知识点作些梳理，并选择典型题目作为例题，与学生共同讨论总结规律.

高三复习往往大容量，课堂气氛沉闷，本课在各环节小结中利用打油诗或对联来总结复习内容和思想方法，不仅朗朗上口，又能准确把握试题特点和规律，更重要的是对问题的理解能上升到一个新的高度，体现数学的求真、求美、求简精神.这是笔者近年在教学实践中的尝试，意在使学生掌握数学知识、形成思想方法的同时，提高文化品位.

现将教学过程记录如下，请同行批评指正.

一、基本知识回顾

填空学生都能做对，平移问题多数学生也能做对，比较同学做法，最后总结：化成同名函数后，先伸缩再平移，至于平移方向及平移多少只要画出图像很容易发现（为节省篇幅，图略）.

小结：正弦曲线似波浪，各种性质图中藏；正余变换只两步，攻坚克难心向往.

二、例题选讲

题型（一）图像平移

本题虽然也是三角函数图像平移问题，但先要确定t是考查函数思想，把点坐标代入函数得最简三角方程，再解出s，考查的重点是平移函数图像的“左加右减”的思想，但后面还要解三角方程，与通常的函数图像平移有很大不同，题型新颖，体现考查能力的要求.

小结：不同名化同名，ω不同先伸缩.

题型（二）求ω、φ的值或范围

例2（2017年天津理第7题）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f（x）的最小正周期大于2π，则（）.

解法2：直接代入检验便知选A.

图1

解法2：因为f（x）在（π，2π）内没有零点，所以f（x）≥0在（π，2π）恒成立或f（x）≤0在（π，2π）内恒成立；因为≤0.

这种方法计算量大，“易想难算”.好些学生做不到底或计算出错，出现“会而不对”.

在笔者提示下有少数同学想到“正难则反”的解法，在巡视中没有发现学生用排除法.

对于客观题，应该首先选择间接解法，一题拥有多解法，求真求美求简化.

小结：周期大小限制ω，方程范围确定φ.

题型（三）利用图像对称性、周期性解题

例4 （2015年安徽理第10题）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，

A.f（2）

C.f（-2）

学生对本题有两条思路：其一是转化到正弦函数的单调区间内比较横坐标的大小；其二是比较横坐标与其距离最近的对称轴距离的大小.因此有下面的3种解法.

解法1：因为函数f（x）的最小正周期为π，所以ω=2，f（x）=Asin（2x+φ）.

解法1和解法2思路相同，但解法1偏重代数运算，解法2是数形结合，二者计算量有很大差异，对此教学中要有针对性评讲，才能引起学生在解题过程中重视.

小结：图像是个宝，解题不可少；依理画出图，难题变易了.

三、本课小结

正弦考题，变换单调周期对称性；

解题之道，伸缩值点作图再化归.

注：值点指最值点和零点.

四、感想

图2

所以f（2）

一节课讲的内容不一定要很多，只要把相关问题讲透那就很好了，这正是微型专题的特点.本课是在复习正弦曲线一般性质的基础上，结合近年高考题设计的一节课，目的在于深化对正余弦函数的理解，见识一些新题型.

本课的题目大多是客观题，题虽小但信息量大.引例为后续课的正常进行提供知识铺垫和思想方法指导.例1虽然是平移问题，但问题设置新颖，是一个点在一条曲线上，平移后在另一条曲线上，平移前后的纵坐标不变是解题的关键.例2知道一个最高点和零点坐标，求ω和φ的值，看似简单，实际上所得方程组有多个参数，对考生运算能力要求较高.

一题多解可以有效地甄别一个考生的思维能力，高考时在客观题中安排这些试题的目的在于考查学生思维的灵活性，突出选拔功能.例3的条件是否定式给出，不符合学生的阅读理解习惯，审题对部分考生是个坎，过了这个坎，如果用常规解法（解法1、解法2）计算量相当大，少数考生可能出现“会而不对”的情况，即使得到正确答案，那也要耗费不少时间，而解法3、解法4则相对容易许多，能力高低立刻可见.但解法3是逆求法，运用补集思想，在三角中并不常用，这也是“核心素养”中的“数学运算”，例4的解法2也很简单.

微型专题一般说来目标明确具体，要解决的问题相对集中，就是一个个小模块，便于“集中兵力打歼灭战”.本课就是把近年高考中较为新颖的题型归纳总结成三种类型，让学生通过几个典型题目的研讨，使学生掌握基本思考方法，对常规方法运算较繁的解法，想到利用图像进行等价转化（例4解法2、解法3），寻找简捷的解题方法.此外，作为客观题，特殊值法或直接代入验证这些都是基本方法，有时能快速得到正确答案.W