数学思维素养：儿童带得走的智慧

梁培斌

摘要：数学教学即是数学思维的教学。数学思维的培养，还存在深刻性不够、发散性欠缺、敏捷性滞后、批判性不足等诸多问题。基于发展儿童核心素养的视角，培养数学思维要注意三个转向，即教学取向要从“教例子”转向“用例子教”，教学过程要从“静态讲授”转向“动态生成”，教学评价要从“关注学会”转向“关注会学”。从整合的视角出发，培养数学思维的策略包括动手操作、类比迁移、变式思考等。

关键词：数学思维；动手操作；类比迁移；变式思考

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）07A-0094-04

数学教学即数学思维的教学。培养学生“运用数学的思维方式观察分析现实社会，解决日常生活和其他学科学习中的问题”已成为学生适应更高层次学习和社会发展需要的关键能力，也是当下数学教学改革的风向标。

一、现状叩问：寻找数学思维素养形成的生长点

近年来，培养数学思维已引起一线教师的普遍关注，但因为种种原因，数学思维能力的培养还存在诸多问题，主要包含如下几点。

（一）数学思维的深刻性不够

思维的深刻性是数学思维的基础。它能让学生从简单的、普通的、司空见惯的数学现象中发现问题，进而全面思考、探究概括，把握问题的核心。但调查结果显示：许多学生对数学材料理解不到位，不能深刻把握问题的本质，理不清条件之间的逻辑关系，不能做出正确的推理和判断。

（二）数学思维的发散性欠缺

发散性思维是重要的思维方式。它能让学生用不同方法、从不同角度进行思考，找到新的或更好的解决问题的路径。但受思维定式的影响，许多学生不能迅速抓住问题本质，思维缺乏流畅性；不能独立解决数学问题，需要同伴或教师的帮助，缺乏独立性；不能根据已知条件的变化及时地改变或调整思维方式，从新的角度来思索数学问题的过程，缺乏变通性。

（三）数学思维的敏捷性滞后

在解决问题的过程中，敏捷的数学思维能让学生迅速、正确、合理地利用概念、性质、法则等数学基本知识进行积极思考，做出判断与选择。但调查结果显示：许多学生不能短时间内找到解决问题的有效方法，即使短时间内解决问题，但正确率偏低。思维敏捷性滞后已经成为不争的事实。

（四）数学思维的批判性不足

批判性思维是有目的的、自我校准的判断。它能让学生对已有的数学表述或论证提出自己的见解，以谋求改善，从而更新原有的认知，提高学习的效率。但调查结果显示：学生缺乏批判的意识，不敢对权威的观点提出疑问，人云亦云、盲目附和；缺乏批判的方法，不愿在解决问题中思考解决问题的思路是否恰当，不想检验结果的正确性[1]。

二、出路審视：把握数学思维素养形成的关键点

培养良好的数学思维，必须从转变教学理念开始。

（一）教学取向——从“教例子”转向“用例子教”

教学取向决定着教学目标和教学内容的方向。传统的数学课堂更倾向于“教教材中的例子”，至于例子中所包含的算理、算法、公式等全靠教师讲授或学生记忆，即舍弃探究的过程，将所有的知识全部当作陈述性知识进行教授或学习。基于数学思维培养的数学课堂，更倾向于“用教材中的例子教”，即通过教材中例子的学习，教给学生思考的方法、解决的策略等程序性知识，并在程序性知识的学习中培养学生的数学思维。

（二）教学过程——从“静态讲授”转向“动态生成”

传统的数学教学主要以掌握基本数学知识、训练基本数学技能为主要内容，课堂往往采取教授、练习等教学方法为主，课堂基本呈现“静态讲授”模式。“动态生成”的课堂，注重学生动手操作、参与探究、理性思考的动态参与过程，重视在此过程中对基本数学思想的领悟和基本数学经验的积累。因此，教学应从“静态讲授”转向“动态生成”。

（三）教学评价——从“关注学会”转向“关注会学”

长期以来，课堂上对学生学习的评价倾向于学会既定的知识与技能的评价，关注学习的结果。如此指向，容易造成教学只重结果，不重过程，一定程度上弱化了师生对知识获取过程或思维培养过程的关注。因此，教学评价应从关注结果走向兼顾过程，从“关注学会”转向“关注会学”，让学生成为有主动学习意识和学习能力的终身学习者。

三、策略整合：寻求数学思维素养形成的落脚点

（一）注重操作，强化对比，培养思维的深刻性

数学学习的关键在于数学思维的发展，数学思维发展的关键在于思维的深刻性的培养。

1.注重动手操作，在深入探究中培养思维

小学生还处在动作思维阶段，其思维活动往往从动作开始。因此，在数学教学中，教师应给学生充分的动手操作机会，让学生在课堂上摆摆、拼拼、画画、折折，在“表象—思维—抽象”的活动中，让学生经历数学知识的产生、形成与发展过程，获得思维的深刻性的发展[2]。

【例1】苏教版数学三年级下册“长方形和正方形的面积计算”设计片段

首先，动手操作，初步感知。小组合作，用边长1cm的小正方形摆出不同的长方形，并记录摆成的长方形的长、宽、面积各是多少。初步感悟长方形的面积可以用“长×宽”计算。

接着，交流深入，推理抽象。教师出示：用1平方厘米的正方形量下面两个长方形的面积（如图1），请学生与同学交流是怎么量的，让学生在想象、验证、交流中抽象出长方形的面积计算方法。

最后，拓展延伸，迁移运用。先不用摆正方形，运用总结的长方形计算方法求出面积，再深入思考：如果是正方形，面积该怎么算。

这样设计，环环相扣，逐步深入，教师引导学生经历从形象到抽象再到延伸的过程，完善长方形和正方形的面积计算方法。在此过程中思维逐步走向深刻。

2.加强相似对比，在前勾后连中培养思维

正如乌申斯基所说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”因为不少数学概念、定理、公式等既有联系，又有区别，容易混淆。如果重视它们的形成过程，弄清它们的来龙去脉，以形成清晰的数学认知，对于培养思维深刻性大有裨益。

3.引导类比推理，在触类旁通中培养思维

类比是一种重要的推理形式。在教学中，教师引导学生运用已有的知识经验进行类比迁移，由已知到未知，逐步解决问题。学生的思维就会在“解决问题—形成理论—解决问题”这一过程的反复中不断走向深刻。

【例2】苏教版数学六年级上册“列方程解决实际问题”

图2练习巩固的是“和倍”与“和比”问题，对于这样的问题，就可以结合四年级学习的“和（差）倍关系”的问题，引导学生在“读题—找出等量关系—列方程解答—检验反思”中对比沟通、类比迁移，让知识触类旁通，深化理解。

（二）举一反三，变式思考，培养思维的发散性

教学不仅是继承和吸收，更是应用和创新。在保持本质不变的前提下，教师把问题的条件或结论略加变化，通过变式教学，开拓学生思路，使学生在纵横发散，知识串联、综合贯通中举一反三，形成发散性思维，进而深刻把握问题的本质，形成良好的数学学习素养。

1.调动一题多问，在素材发散中培养思维

在教学中，教师按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，进行一题多问的发散性练习，既可以激发学生强烈的学习动机，深化对数学性质、概念、法则、公式等知识的理解，又可以训练学生对基本数学方法和技能的运用，培养数学思维的发散性。

2.追求一题多解，在殊途同归中培养思维

学习中，学生以需要解决的问题为发散点，充分运用习得的数学知识、数学思想、数学技能、数学方法等，从不同方向、不同层面思考数学问题、解决问题，以开阔解决问题的视野，优化解决问题的思路，提高解决问题的能力，在此过程中培养学生的发散性思维[3]。

【例3】苏教版数学五年级上册“组合图形的面积”

在初步认识“割”“补”等基本方法之后，教師充分放手，鼓励学生从不同角度思考、计算组合图形的面积。如图3，教师在教学中不拘泥于一种解法：有的将多边形分割成一个三角形和一个正方形的和，有的将多边形分割成一个小三角形与一个梯形的和，有的将多边形添补成一个梯形与一个小正方形的差。

学生的思维在碰撞中打开，能从不同的角度分析、解决问题。经常进行类似的思维训练，学生数学思维的发散性与灵活性必将得到有益提升。

3.鼓励一题多变，在灵活多变中培养思维

“一题多变”是培养学生思维发散性的有效方法。它从不同角度、不同层面对问题进行变化，引出一系列与本题相关的问题，形成一题多变的教学指向，使学生形成“弄懂一题，学会一片”的能力。同时，在一题多变的练习中，学生逐步掌握知识之间的内在联系，完善知识体系，摆脱思维定式，举一反三，触类旁通，使思维更加发散和灵活。

【例4】苏教版数学六年级上册“解决问题的策略”

练习十一的第11题：师徒二人一共做了120个零件，师傅比徒弟多做16个，两人各做了多少个？

这一问题学生在四年级学习“解决问题的策略”时已经用画线段图的方法解决。同样的题，在六年级的练习中，相比四年级的解答，这里要运用“假设”的策略，假设都是师傅做或者假设都是徒弟做，再通过师傅与徒弟所做零件个数之间的相差关系，分别求出师傅和徒弟所做的零件个数。同样的题，运用不同的策略解答，思维的含量在提升。

（三）激发联想，数形结合，培养思维的敏捷性

数学思维的敏捷性集中反映了学生掌握知识的熟练程度和反应速度两个方面的内容，是重要的思维品质，可以从以下几个方面入手。

1.引导知识迁移，在知识建构中培养思维

知识的类比迁移有利于培养思维的敏捷性。教学中，以大概念、大问题为引领，引导学生把所学的数学概念、公式、定理等融会贯通，形成清晰的、系统的基本知识结构，有利于充分发挥数学知识的联结、转换、迁移功能，培养思维的敏捷性。

【例5】苏教版数学四年级下册“认识多位数”

教师引导学生从含有两级数的读法、写法类推到含有三级数的读法、写法，在比较中发现：含有两三个数级的多位数的读写方法与只有一个数级的多位数的读写方法是一样的，都要按照从高到低的顺序读（写），不同点在于每一级数读完后要在后面添上一个“万”或“亿”字；同样的道理，比较万以内数的大小，类推到比较亿以内的数的大小；求一个亿以内数的近似数，类推到求比亿大的数的近似数等都是充分发挥数知识的联结、转换、迁移功能，使学生更好、更快地掌握新知识，进而培养了思维的敏捷性。

2.鼓励多向思考，在变通求解中培养思维

没有大胆的猜想就没有伟大的发现。多向思考，即从一个目标出发，沿着不同途径去思考，探求多种答案，寻求多种解决问题方法。它有利于发展学生多角度思考问题的能力；同时引导学生从横向、纵向、逆向等多角度思考数学问题，也能拓宽学生思路。长期坚持，数学思维的敏捷性必将得到提高。

（四）质疑问难，查错究因，培养思维的批判性

具有批判性思维的重要表现就是具备科学的质疑态度。具有批判性思维，可以排除惯性思维的干扰，直指问题的本质所在。教学中可从以下几方面着手。

1.鼓励质疑问难，在认知深化中培养思维

问题是思维的先导。数学学习就是一个发现问题、探究问题、解决问题的过程。教学中，教师应引导学生对问题解决的思维过程、结果以及所用的方法策略等进行质疑问难，促使学生自省学习行为、完善认知结构，并在此过程中培养思维的批判性。

2.引导查错究因，在学习自省中培养思维

科学家、哲学家波普尔曾言：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法。”因此，从心理学角度看，引导学生查错究因就是利用“差异的刺激”唤醒学生的注意，让学生在识错、议错、纠错中达到“触类旁通、训练思维”的目的。因此，教师可以适时设计一些“致误型”事例，诱使学生“上当受骗”，以此展开探究，培养思维的批判性[4]。

在日常教学中，教师应将思维培养作为数学教学的核心目标，灵活运用多种方法引导学生发现问题、分析问题、解决问题，在此过程中提高学生综合能力、发展数学思维。如此坚持，学生的数学思维必将有质的飞跃和发展。

参考文献：

[1]杨丽.小学生数学思维培养存在的问题及对策研究——以成都市龙泉驿区第×小学五年级1班为例[D].成都：四川师范大学，2016：12-17.

[2]曹彬.让数学实验成为学生思维的生长点[J].教学与管理，2017（14）：32-33.

[3]常磊.国内外高层次（数学）思维研究述评[J].数学教育学报，2016（5）：28-30.

[4]邱廷建.数学教学是数学思维活动的教学[J].教育探索，2015（12）：37-40.

责任编辑：石萍