基于合理素材选择的小学生数学推理能力培养

张琪

[摘 要]

在小学数学的学习过程当中，观察、分析、合情推理的能力是非常重要的。通过合情推理能力可以打开学生的数学思维，不断提高学生的数学学习能力，从而更好地学习数学。因此，培养学生的合情推理能力是十分重要的。以教材为依托，如何在教学实践当中培养学生的合情推理能力，针对学生的差异，实行针对性的教学，值得探讨。

[关键词]

小学数学；合理素材；推理能力；培养策略

数学是一门博大精深的科学知识，其中潜在蕴含着自然界的发展规律。在我国的数学发展过程中，各种数学思想不断涌现，数学推理能力作为一种重要的能力，自古以来一直被沿用。直到今天，也是小学数学学习的一种重要学习方法。运用数学推理能力能够轻松地解决很多数学问题。熟练掌握合情推理能力是小学阶段数学的重要要求和技能，也是小学生们训练数学思维和提高数学运用能力的重要保障。

小学数学推理能力是小学数学教学重要目标之一，应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式，小学数学课程标准（2011年版）把“推理思想”列为三大数学基本思想之一。遗憾的是，很多教师对合情推理的认识和实践都存在一定问题。

落后理念和评价欠缺引发“短视”，部分教师不重视培养学生的推理能力。日常教学中，部分教师常以平视“看”到“数学内容”，没有“看”到之上的“数学思想、基本能力”等，甚至还存在认识偏差：“我教的是知识，无暇顾及其他。”同时，当前对小学生数学学习水平的评价还侧重传统意义上的“双基”，在评价导向作用下，教师对数学思想和基本能力，往往以时间紧为借口将它作为一个“软任务”挤掉。这样的短视和认识，导致教师不重视对学生推理等能力的培养。此外，重演绎推理、轻合情推理的现象较广泛存在。一直以来，教师存在重演绎推理、轻合情推理的状况，往往只满足于证明现成结论，不够重视引导学生经历探索结论、提出猜想等的活动过程，违背了新课标所倡导的两者“并重”理念。令人可惜的是，部分教师知道合情推理在教学中的价值，但缺少相应理论学习和实践探索，导致问题颇多。对合情推理等基本概念缺乏认知，对培养学生合情推理能力缺少方法支撑。

综上，我们有必要深入认识合情推理的意义和价值，并在实践中强化其应用。笔者选择“图形与几何”作为内容对象，这是因为这一板块本身所具有空间特性和内容之间的关联性，更適合我们就推理能力的培养进行研究。

一、小学数学合情推理能力的重要性

学术观点认为，人类区别于动物的重要一点，就是人类具有理性思维的遗传基因，仅需在后天学习中激活。数学推理就是这样的理性思维，数学教学应承担“激活”的职责，重视培育学生的推理能力，该出发点基于如下思考。

（一）小学是进行推理思想启蒙和推理能力培养的重要阶段

推理并不是一个独立于知识技能之外的内容体系，也不是一个单列的教学体系，而是蕴含于日常内容之内、融合在日常教学之中的组成部分，它可用具体事例、渐进过程让学生去体验、感悟并沉淀，是可以为小学生所学习接纳的。因此，对小学生进行推理思想启蒙和能力培养，是可行且必要的。

（二）合情推理能够调动小学生学习积极性

相比演绎推理，小学生更愿意接受观察、猜测、比较、不完全归纳等学习方式，“非严谨、可猜测”的合情推理，作为“发现的工具”，小学生一定愿意接纳。因此，要重视合情推理价值，研究其应用策略。

“图形与几何”所涉及的图形抽象、分类、公式推导等内涵丰富，具有推理教学的广阔空间，具有独特优势。综上，在小学“图形与几何”教学中培养学生的合情推理能力，是可行的，是必要的。如何培养？需要寻求对策。

二、小学生数学合情推理能力培养策略

基于思考和长期教学实践，笔者就在“图形与几何”教学中培养学生的合情推理能力提出了策略架构：

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这一架构阐明，培养学生的合情推理可以采取三种主要策略：阶段差异化实施策略、类别针对性实施策略和教学优化的实施策略。

（一）基于年段差异，实施渐进式、差别化的培养策略

新课程标准指出：推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。因此，合情推理能力要从小学入学就开始引导培养，并应持续进行。同时，我们应基于学生年龄特点，在低、中、高段按渐进原则差异化实施。

1.小学低段：引导学生初步感受合情推理过程

低段所涉及的推理，主要是一些“简单推理”，属于“二值逻辑”范畴，即要么属于某种情况要么不属于某种情况。在“图形与几何”板块中，可以提供直观图形让学生有顺序、有条理地判断，特别是要让学生能用自己的语言描述，感受推理过程。主要策略：创造机会，更多让学生感受推理过程。关键词是“感受”，让学生经历推理全过程，积累经验是主要目标。

[案例1]材料的个数

出示材料：●○●○○●○○○●（ ）●○○○○○○，括号内应填（ ），要填（ ）个。

感受1：颜色推理。让学生用自己的语言描述，感受判断依据。

感受2：个数推理。根据规律判断个数，感受判断过程。

感受3：适当抽象。引导学生用类似“1，1，1，2，1，3……”的方式，逐渐感受“黑球总是1个”，“白球逐渐增加”的分布规律。

在低段，合情推理还处在启蒙阶段，教学时要注意给学生提供感受机会，增加经验。

2.小学中段：引领学生学习体验合情推理方法

小学中段学生，思维水平有了较大发展，本阶段重心是引领学生学习体验合情推理的方法。主要策略：基于循序渐进原则，让中段学生从简单枚举推理开始，体验合情推理方法，最后引导进行科学归纳推理。

[案例2]周长相等的长方形的面积变化规律

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①出示材料：用长40cm的细绳围一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到最大？

②教学组织

以“独立思考—枚举比较—猜想验；证想—获得规律—推广应用”的方式组织。

本节课，首先学生用枚举初步推测，再根据算式与结果的关系合情推理。一方面，经历的学习过程完整呈现数学推断的基本程序；另一方面，获得的结果具有厚实的事实基础，这一推断成果将成为学生今后独立探索的成功范例，影响深远。

3.小学高段：指导学生利用合情推理解决问题

小学高段是与中学衔接的关键学习期，有必要强化合情推理的应用指导。主要策略：指导学生充分运用生活经验、已有数学知识以及推理方法独立推理、解决问题，使学生在这一过程中，逐步构成程序化的操作形成“数学方法”解决问题。

[案例3]问题出发的合情推理基本材料：“经过这座大桥，自行车约转了多少周？”

师：单凭问题，猜想已知条件是怎样的？

生：可能会已知大桥长度和车轮直径。

师：解决这个问题，算式可能是？

生：我推测是大桥长度÷车轮周长。

师：如果用2000÷（3.14×0.6）解决这个问题，你有什么推测？

生：我推测2000是桥长，0.6是车轮直径，整个算式是求车轮转的周数。

本案例，从问题启动学生逆向思考，逼迫学生基于个人经验和知识进行合情推理，逐步明晰完整情境，最后解决问题。相比较教师常用的“例题讲解—获得方法—练习巩固”这样固定的“单行线教学”，本案例所实践的“提出问题—合情推理—解决问题”这样的“逆向结构”，使常见的“正向教学、反复操练”为“双向构建”，充分利用合情推理解决问题，对高段学生的数学学习是一种方法上的完善。

综上，合情推理开展策略在各年级段要循序渐进：低段重推理感受—中段重推理方法—高段重推理应用，但三者应相互交融，在每个阶段都有完整体验。

（二）基于类别特点，实施针对性、相融合的应用策略

合情推理包括不完全归纳和类比推理两种，在“图形与几何”教学中，我们既应根据这两种推理的内在特点，又要基于学生发展和学习内容特点，实施包括演绎推理在内多种推理融合性的应用策略。

1.不完全归纳推理的应用策略——厚积薄发

不完全归纳是根据特殊推断一般的推理方式，以部分对象所具有的属性推断全部对象，这有助于通过观察思考发现新规律，但也有结论不科学的后果。在教学中，我们要根据这一特点，引导学生多观察多思考，重视过程体验，同时注意：

①尽可能多而广地考察事物对象，做到“厚积”再“薄发”。

②注意搜集可能出现的反面事例，培养质疑习惯。

[案例4]长方形面积计算方法（不完全归纳推理）

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在方格中自由地涂出一个或几个长方形，并记录下来。让学生都涂涂、记记、看看，推理长方形面积与什么有关？一方面让学生体验公式由来，体验不完全归纳推理方法，抽象数学结论；另一方面，针对不完全归纳推理的“不完全”性，让学生搜集尽可能多事例，为公式由来佐证，最后抽象计算方法，这样的“厚积薄发”是一种科学态度，也是应对不完全归纳结果或然性特点的重要策略。

2.类比推理的应用策略——瞻前顾后

类比推理是特殊到特殊的推理方法，是一种“由此及彼”的推断，进行类比推理应用，我们要引导学生“瞻前顾后”：遇到新问题，想想有可能与哪些“前”知识有关；学习新知识，联想可能会采用同样方法的“后”知识。教学时要注意以下方面：

①尽可能多地搜集共有属性，积极探寻两个对象系统显性和隐性的共同点。

②重视差异性分析，获得尽可能的完整认知。

[案例5]圆柱体积公式的推导

圆面积公式推导→圆柱体积公式推导

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教学中不要“就事论事”，而要“瞻前顾后”，把圆柱体积推导上升到一个体系之中，不仅要整理好平面图形面积推导系列、立体图形体积推导系列的共同特点，也要由此及彼引发对数学其他问题的类似思考。

3.合情推理與演绎推理的融合——取长补短

演绎推理和合情推理各有特点，前者重在严谨思考、结论可靠性高，后者重在探索发现、结论可靠性相对低，各有所长。在“图形与几何”教学中，我们可以基于两种推理的不同内涵和学生年龄特点，取长补短，进行融合。

[案例6]正方形与内接圆面积的关系

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在正方形内画一个最大的圆，研究圆面积与正方形面积的关系。学生发现，不同学生设计的数据不同，但圆面积都占正方形的78.5%。是巧合？此时可引导学生进行数理证明。从前期简单枚举到后期严谨推理，让学生经历合情推理和演绎推理相融合的过程，获得完整认识。

（三）基于教学优化，实施有预设、重体验的教学策略

课堂教学中培养合情推理能力，既要从整体理念、设计、实践上探索培养方略，也要分环节、分要素、分重点深入研究培养策略。

1.基于课堂教学的整体优化，培养学生的合情推理能力

[案例7]自编教材：局部关系推理整体关系

①初步感受

学生解答：“820-3.14×42 820-3.14×22×4 820-3.14×12×16”观察思考：不计算，对结果有什么猜想？

②同类再现

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出示首次出现在教材上的习题（人教版第九册95页第8题），引导学生反思：既然绿草面积与花的总面积相等，是否可用“18×12÷2”计算绿草面积？让学生發现：在每个部分（分成四部分）中，草地与花的面积相等，那么总体上两者面积也一定相等。

2.基于课堂教学的局部优化，培养学生的合情推理能力

精心设计材料，创设合情推理平台教学。

[案例8]推理图形与算式之间的联系

提问：有一个长方形和两个算式，请猜想，他们之中有什么联系？

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这个环节没有通常那样提供完整的学习材料，而是留出空白，“长方形纸片”——“算式”之间的空白完全由学生在已有知识基础上，合理推理“填补”：原来“空白”是旋转后得到的圆柱体。以故意预设的“空白”激发学生根据已有信息推理，培育空间观念，提升推理能力。

三、反思总结

合情推理具有一定的局限性。表现在所探究的问题须符合如下条件：第一，在合情推理后具有获得问题答案雏形的可能。即学生通过推理，能对问题的“答案”有大致把握。第二，在合情推理前问题答案处于未知状态，即学生对所探究问题的“答案”还处于模糊或无知状态，使学生能产生通过合情推理解决未知问题的兴趣和动力。现实中，受限于教学内容和学生实际，可能使合情推理的应用存在局限性。通过研究，笔者深刻感受到合情推理在小学数学教学中的重要地位，深刻领悟到合情推理能力对于学生未来发展的重要价值。因此，我们有必要实践新课标倡导的理念：合情推理能力的发展应始终贯穿在整个数学学习过程中。

[参 考 文 献]

[1]梁仁东.合情推理在小学数学四个领域中的应用[J].海峡科学，2013（7）.

[2]袁志祥.合情推理在小学数学中的运用[J].教育艺术，2013（5）.

[3]陈祥彬.在小学数学教学中培养学生的合情推理能力[J].小学数学教育，2012（11）.

[4]曹培英.小学数学合情推理的教学研究[J].小学数学教师，2015（1）.

[5]王晓利.小学生合情推理能力培养的策略研究[M].南京：南京师范大学，2011.

（责任编辑：李雪虹）