状态空间虚功原理的动荷载识别方法

2018-11-09魏铭康邹宇远秦世强

土木工程与管理学报 2018年5期

徐训，魏铭康，邹宇远，赵煜，秦世强

(武汉理工大学土木工程与建筑学院，湖北武汉 430070)

荷载是进行结构设计，结构动力优化及结构健康监测等不可或缺的基础数据，必须对荷载进行准确测量。结构荷载的测量分为直接测量和间接测量，但在多数情况下，荷载的直接测量存在很多局限及困难：(1)荷载对结构作用属于一种能量传递，能量传递介质的多样性，使得荷载测试设备及测试方法变复杂；(2)荷载测试设备所处环境恶劣，对荷载测试设备的耐久性及可靠性要求很高；(3)当结构处于工作状态及荷载位置或荷载发生时间不确定，无法对荷载直接测量。因此，通过测量结构响应识别荷载成为结构监测领域一个重要的研究内容。

荷载识别在土木工程众多领域均有应用。水利水电系统中影响水电机组安全稳定运行的主要因素是水轮机的振动，文献[1]采用小波分析手段识别了水电站的动荷载；在输变电系统中，输电塔的风致效应是电力线路破坏的主要原因，风洞试验及现场实测是分析风荷载的主要手段，文献[2，3]通过输电塔响应识别风荷载；地下结构具有隐蔽性及测试不便的不利因素，因此，文献[4]提出了一种地下结构荷载的广义反演法；桥梁车辆荷载是桥梁的运营管理、检修维护不可或缺的数据，文献[5]将荷载用形函数展开，提出一种大跨桥梁结构的移动荷载识别方法；文献[6]通过桥梁拉索的监测数据识别车辆荷载。

荷载识别属于动力学反问题，求解时系统一般存在病态问题，针对该问题，研究人员发展了一些改善求解稳定性的方法。文献[7]用频响函数矩阵条件数评价系统病态性，给出Tikhonov正则化方法和用奇异值分解法给出各自适应的矩阵条件数；文献[8]根据荷载的时空分布特征，将荷载解耦为空间正交函数和时间函数的线性组合来改善求解的稳定性;文献[9]在识别结构模态力时用Landweber正则化方法改善方程组求解的稳定性；文献[10]先对含噪信号用奇异值去噪，再通过正则化预优的共轭梯度迭代算法改善问题的不适定性。

结构运动方程是根据达朗贝尔原理列的力平衡方程，利用结构运动方程识别结构外荷载、方程阶数、方程中包含的响应类型及力的矢量特性，使得荷载识别过程变得复杂且困难，针对上述几点，本文提出了在状态空间用虚功原理识别外荷载的方法。

1 荷载识别原理

结构在外荷载作用下，结构运动方程可表示为

(1)

令Z(t)为结构状态向量，且Z(t)可表示为

(2)

则式(1)改写成结构状态方程如下

(3)

其中：

(4)

(5)

在结构状态方程(3)式两边同时乘以任意一个一阶导数存在的虚位移函数Φ(t)并在时间区间[titj]内积分

(6)

对(6)式采用分部积分有

(7)

(7)式和(3)式相比较，(7)式不含有状态向量Z(t)的一阶导数项，但引入了虚位移函数Φ(t)的一阶导数。虚位移函数Φ(t)只要求一阶导数存在，因此，虚位移函数Φ(t)是任意的至少一阶可导的函数，且虚位移函数Φ(t)是已知的。

X(t)=S(t)X(tnode)

(8)

(9)

F(t)=S(t)F(tnode)

(10)

将式(8)，(9)代入式(2)有

(11)

将式(10)，(11)代入式(7)有

(12)

在式(12)中，X(tnode)，F(tnode)为待定常数，因此，X(tnode)，F(tnode)可以提取到积分符号外。

(13)

令

(14)

(15)

式(13)可以简写为

LX(tnode)=RF(tnode)

(16)

在荷载识别的过程中，采集部分结构响应，且假定已知部分外荷载，采用分块矩阵将结构响应及外荷载分为已知部分和未知部分有

(17)

式中：Lk，Xk(tnode)表示已知的结构响应；Lu，Xu(tnode)表示未知的结构响应；Rk，Fk(tnode)表示已知的结构外荷载，Ru，Fu(tnode)表示未知的结构外荷载。

将式(17)已知部分移到方程右边，未知部分移到方程左边

(18)

令

(19)

(20)

将式(19)，(20)代入式(18)有

(21)

采用Moor-Penrose广义逆求解式(21)有

(22)

F(tnode)=[Fu(tnode)Fk(tnode)]代入式(10)，可以求出待识别荷载F(t)。

2 数值仿真

为验证上述荷载识别算法，以一四自由度剪切结构为例进行说明。结构质量及层间刚度如图1所示，结构阻尼为Rayleigh阻尼

C=αM+βK

(23)

其中α=0.6984，β=9.3896×10-4。

图1 四层剪切结构模型

结构初始位移及初始速度为0。作用在结构上的荷载分别为：第四层为三角波荷载；第三层为随机荷载；第二层为谐波荷载。土木工程结构所遇荷载频率均较低，本算例所有荷载频率均在50 Hz以内，所有荷载时程如图2所示。本文所提算法要求已知的结构响应数应大于等于待识别荷载数，因此，本算例采集第二、三、四层结构位移响应识别外荷载。实际采集的结构响应均包含噪声影响，噪声水平通过信噪比控制，结构响应的信噪比SNR取为30。

图2 结构荷载时程

图3给出了三种荷载时程曲线的识别结果，从图中可知，算法对不同类型的荷载均能很好识别，识别荷载值在荷载真值附近波动，其中三角波荷载和谐波荷载的识别值呈微锯齿状，在荷载峰值或峰谷部分，识别误差较其他处稍大，但荷载识别值总的变化形式和荷载真值一致。通过计算荷载识别值和荷载真值的相对误差，三角波荷载识别的相对误差为21.9%，随机荷载识别的相对误差为23.9%，谐波荷载识别的相对误差为6.17%，随机荷载的频率成分更复杂，导致识别结果的误差最大，三角波荷载和谐波荷载相比，三角波荷载存在不可导点，导致三角波荷载的识别误差比谐波荷载大。