向量优化的高阶微分条件

唐琦林， 廖永志， 胡 敏

（攀枝花学院数学与计算机学院，四川攀枝花617000）

向量优化问题在经济理论及工程技术等领域中有着广泛的应用.例如最早研究的Pareto有效解和弱Pareto有效解［1-10］，最近研究的Sharp解和弱Sharp解等［8-11］.利用广义导数，获得了这些解的一些充分或必要的最优性条件［10-13］，这在数学规划的很多问题当中都起着关键的作用，比如灵敏度分析、误差界分析等方面.文献［14］把泰勒公式扩展到Ck，1函数，应用它得到高阶拟凸函数的最优性条件.本文主要研究2个问题：一是文献［12］在光滑的前提下讨论了Pareto解，本文将其推广到非光滑条件下讨论Pareto解的存在性；二是首先给出Banach空间Pareto解的次可微形式的Pareto最优条件，然后，应用高次微分形式的泰勒公式来研究从Rn到Rm上的Ck，1函数的Pareto解的纯量形式最优性条件，最后，提出弱C-拟凸和C-拟凸函数的概念，并给出其二阶判别条件，完成对向量优化的高阶微分条件的进一步研究.

1 预备知识

下面给出本文用到的一些定义、性质及结论.

设Y是一个Banach空间，Y*是其对偶空间.记C⊂Y是一个内部非空集的闭凸锥，C+表示C的对偶锥，即 C+＝｛y*∈Y*：0≤〈y*，c〉，∀c∈C｝，对y1，y2∈Y，定义关系 y1＜Cy2和 y1≤Cy2分别为 y2-y1∈int（C）和 y2-y1∈C.

下面给出关于向量优化问题的一些结论及Pareto解的定义.

定理 1.1［11］设 f是从 Banach空间 X 到 Banach空间Y的一个映射X，f在的附近具有2n阶导数，其中n为一个自然数.假设存在c*∈C+，‖c*‖ ＝1且

若f（2n）（¯）是S正定，则是（1）式的局部Pareto解，并且存在数 η，δ∈（0，+∞）使

定理 1.2［11］设 f是从 Banach 空间 X 到Banach空间Y的一个C-凸映射X，f在的附近具有2n阶导数，其中n为一个自然数.假设存在c*∈C+，‖c*‖＝1，若f（2n）（¯）是S正定，则是（1）式的整体 Pareto解，并且存在数η0∈（0，+∞）使

设WE（A，C）表示由A的所有弱Pareto有效点构成的集合，E（A，C）表示由A的所有Pareto有效点构成的集合，则显然有

设f是从Banach空间X到Banach空间Y的一个函数，考虑向量最优化问题

定理 1.3［11］设 f是从 Banach空间 X 到 Banach空间Y的一个映射X，f在的附近具有2n阶导数，其中n为一个自然数， ）＝0.

成立，其中

对于局部 Lipschitz函数，Clarke［15］为连续可微函数梯度的推广，提出了广义梯度概念.

定义 1.1［15］设 f（x）为开集 S⊂Rn上的局部Lipschitz函数，f（x）在点 x处沿 d∈Rn的广义方向导数定义为

广义方向导数有如下性质：

定理 1.4［15］设 f（x）为 Rn上的局部 Lipschitz函数，在点x∈Rn附近的Lipschitz常数为L，则有下述结论：

1）f0（x；d）作为 d的函数是次可加的和正则的，且满足｜f0（x；d）｜≤L‖d‖；

2）f0（x；d）作为 d 的函数是 Lipschitz；

3）f0（x；d）作为 d的函数是上半连续的；

4）f0（x；-d）＝ -f0（x；d），∀d∈Rn.

定义 1.2［15］设 f（x）为 Rn上的局部 Lipschitz函数，f（x）在x处的Clarke次微分定义为

其中元素 ξ∈∂f（x）叫作 f（x）在 x处广义梯度.当f（x）为凸函数且连续时，则凸函数所定义的方向导数和次梯度相吻合，也就是

定义 1.3［15］设 A是 Y的一个子集且 a∈A.称：1）如果不存在点 y∈A＼｛a｝，使得 y＜Ca，则 a是集合A中一个弱Pareto有效点；2）如果不存在点y∈A＼｛a｝，使得 y＜Ca，则 a是集合 A中一个 Pareto有效点；3）如果对所有y∈A有a≤Cy，则a是集合A中一个理想点.

用 Ck，1（Rn，Rm）（k≥0）表示从 Rn到 Rm的具有直到k阶连续导数且其第k阶导算子是局部Lipschitz的函数全体.

用C0，1表示Rn上的局部Lipschitz函数全体，由 Rademaacher定理［15］，对任意 f∈Ck，1，其 k 阶导算子Dkf是几乎处处可微的.定义f在点x∈Rn处的 k+1 阶次微分［15］为

称该集合的元为f在x处的k+1阶次梯度，它是Rn上的k重线性连续算子［15］.

由文献［15］知∂k+1f（x）是非空紧集.

定义关于x，u∈Rn的双变量函数：

∀x1，x2∈X 且∀t∈［0，1］，则映射f：x→y 是 C-凸的［3］.

注1.1 f是C-凸的，当且仅当对所有 c*◦f是C-凸的.

2 一阶最优性条件的研究

在光滑假设的条件下，Zheng等［12］获得如下的结果.

引理 2.1［12］设 f：X→Y 是一个光滑映射且∈X，则如下结论成立：

对于C-凸函数，把上述光滑条件推广到非光滑条件下讨论Pareto解，给出下列次微分形式的结论.

其中∂表示凸次微分.

设 F（x）：＝f（x）+C，

容易验证A是凸的.

反证，若交集非空，则存在 x∈B（x，δ），y∈F（x）＝f（x）+C，使得 y∈ f（x）-int C.设：y：＝f（x）+c0，c0∈C，则

因此，存在η＞0，使得

又由分离定理可知，存在（x*，c*）∈X*×Y*且‖（x*，c*）‖ ＝1，使得对所有（x，y）∈A，u∈X，c∈int C，有

又因为 f是 C-凸的，（c*◦f）是凸的，且 0∈∂（c*◦f）），故对任意的x∈），c∈C+且‖c*‖＝1.

反之，假设f是C-凸，c∈C+且‖c*‖＝1使得（3）式成立，则对于一固定点x∈X，有

证明 设h是X中任意一点，c*∈C+中，则存在δ＞0，使得对于所有的t∈（0，δ）有f（）≤cf（+th）.因此，对于所有的 t∈（0，δ）有

因此0∈∂c（c*◦f）（）.证毕.

（ii）对于所有的c*∈C+有0∈∂（c*◦f）（；

证明 因f是连续的C-凸映射，对于所有c*∈C+，有∂（c*◦f）（）＝∂c（c*◦f）（），由命题2.3 立刻有（i）⇒（ii），只需证明（ii）⇒（iii）.先假设（ii）成立，设 x∈X 和c*∈C+，由 C-凸性可知

由（ii）可知0≤（c*◦f）′）≤〈c*，f（x）-f（）〉成立.因此对于所有的x∈X，有（c*◦f）（）≤（c*◦f）（x）.

〈c*，f（x′）-f）〉＜ 〈c*，c〉， ∀c∈C成立.因 C 是闭凸锥，则 0≤〈c*，c〉，∀c∈C 和（c*◦f）（）＞ （c*◦f）（x′），c*∈C+，矛盾.证毕.

3 k＋1阶次微分最优性条件的研究

由Taylor公式知道，当X是有限维的且f：X→R是2n次可微的¯∈X.如果f（k）（¯）＝0（k＝1，2，…，2n-1），且对任意的 h∈X＼｛0｝都有 f（2n）h（2n）＞0，则¯是f的一个局部极小值点.对多目标优化问题，许多研究者考虑了二阶优化条件，给出了不同形式的优化条件.参考文献［14］，利用高阶Clarke次微分形式的Taylor公式，给出有限维空间上的Ck，1类向量值函数的（k+1）优化条件.

设 f：Rn→Rm，C⊂Rm是闭凸锥且 f∈Ck，1.

引理 3.1［14］设 f∈Ck，1（Rn，R），a，b∈Rn，则存在 c∈（a，b）及 A∈∂k+1f（c），使得

引理 3.2［14］设 f∈Ck，1（Rn，R），a，x∈Rn，则存在Ax∈∂k+1f（a）及 Rn上的 n重线性连续算子r（x），使得

根据引理3.1得到如下结论.

命题3.1 设f∈Ck，1（Rn，Rm）Rn是（2）式的一个局部理想解，如果Dif（¯）＝0（i＝1，2，…，k），那么对于所有的u∈Rn和c*∈C+有

成立.特别地，如果k是偶数，那么对于所有的u∈Rn有0∈∂k+1f（c*◦f）¯；u）.

证明 令c*∈C+.因为Di（c*◦f）（）＝（c*◦Dif）（）＝0，i＝1，2，…，k，（c*◦f）是一个从Rn到R的k次可微映射，其k阶导数是也是局部Lipschitz的并且（c*◦f）在处取局部最小值，应用引理3.1，得证.

对于函数Ck，1以k+1阶次微分的形式，为成为（2）式的尖的局部Pareto解提供高次充分条件.

定理3.1 设f∈Ck，1（Rn，Rm），Rn，且）＝0，i＝1，2，…，k.假设存在c*∈C+且‖c*‖ ＝1，对所有的 u∈Rn，u≠0 有

证明 对于所有的 x∈X，设 φ（x）：＝〈c*，f（x）〉，那么 φ 是一个从 Rn到 R 的 Ck，1函数.由引理3.2知，存在A∈∂k+1φ（）及Rn上的n重线性连续算子r（x），使得

令S：＝｛x∈Rn：‖x‖ ＝1｝.由（c*◦f）的定义可知，函数u→（c*◦f）（；u）是连续的，注意到S是紧集，故存在u′∈S，使得

对C-凸且是Ck，1的函数，提供一个使成为（2）式的整体的Pareto解的高阶充分条件.

定理 3.2 设 f∈Ck，1（Rn，Rm）且是 C- 凸的，再设x¯∈Rn，Dif（x¯）＝0，其中i＝1，2，…，k.假设存在c*∈X*且‖c*‖＝1，对所有的u∈Rn，u≠0有）＞0，那么，x¯是（2）式的整体的Pareto解且存在η0∈（0，+∞）使得下面结论成立：

证明 与定理3.1最后的证明方式相同，（6）式成立意味着是（2）式的全局的Pareto解.只要证明（6）式成立即可.根据定理3.1，这里存在 η，δ∈（0，+∞）使得（2）式成立.

取 η0：＝ min｛η，ηk+1δk｝，从（5）式知（6）式成立.证毕.

在更强的假设下，有以下（2）式整体理想解的充分条件.

定理3.3 设f∈Ck，1（Rn，Rm）且∈Rn.假设＝0，i＝1，2，…，k，且对于任何x，u∈Rn，u≠0，c*∈C+，都有◦f）（x；u）＞0，那么是（2）式理想解.

证明 对于任何 x∈X，设 φ（x）：＝〈c*，f（x）〉，那么 φ 是 Rn到 R 的 Ck，1函数，令 u∈Rn，u≠0，由引理3.2，存在v∈（，x+u），使得

故对∀x∈X，有（c*◦f）（）≤（c*◦f）（x）.根据分离定理［16］，易知¯是（2）式理想解.证毕.

4 k＋1阶拟C-凸函数的判别条件的研究

参见文献［15，17-21］，得到如下概念.

第一，设 f：Rn→R，称 f是拟凸的，如果对任意x，y∈Rn且 λ∈（0，1）都有

凸函数和拟凸函数都可以通过一阶和二阶次微分刻画.

第二，设 f是从Rn到Rm的函数，如果存在c*∈C+，使得对任意 x，y∈Rn且 λ∈（0，1），使得

则称f是弱C-拟凸函数.如果对任意c*∈C+，任意 x，y∈Rn且 λ∈（0，1），（7）式都成立，则称 f是C-拟凸函数.

文献［14］运用广义Heshiang给出拟凸函数的二阶判定准则.在此，给出C-拟凸函数和弱C-拟凸函数的k+1阶判定准则.

命题 4.1 设 f∈Ck，1（Rn，Rm），f是 C- 拟凸函数（或弱C-拟凸函数），k是奇数且C⊂Rm是闭凸尖锥.若 x，u∈Rn，使得 ）＝ 0 ，则对任何（或存在）c*∈C+，使得

证明 假设结论不正确，那么存在x，u∈Rn，c*∈C+，使得

由引理3.1，存在 v∈（x，x+tu）和 A∈∂k+1（c*◦f）（v），v使得

（c*◦f）（x+tu）- （c*◦f）（x）＝ tk+1Av（u，…，u）.

又由假设k为奇数，则对所有的 t∈［-t0，t0］，有

（c*◦f）（x+tu）- （c*◦f）（x）＜ - ε ＜ 0.特别地，

特别地，如果 m ＝1，C＝R+，那么 C+＝R+，有：

推论4.1 设f是从Rn到R的拟凸函数，k是奇数.如果 x，u∈Rn， （x）（ui） ＝ 0 ，则f（x；u）≥0.

另外，关于充分性二阶条件，应用命题4.1，立刻得出以下推论.

推论 4.2 假设 f∈C1，1（Rn，Rm），任取 x，u∈Rn，x≠u，如果对任意 c*∈C+，当 D（c*◦f）（x）（u）＝0时，有（c*◦f）（x；u）≥0；当 D（c*◦f）（x）＝0时，有（c*◦f）（x；u）＞ 0；则 f是 C- 拟凸函数（弱C-拟凸函数）.

现在假设：f：Rn→Rm是一个 C1，1和 C- 凸函数，C⊂Rm是闭凸尖锥.令∈Rn，cj∈R，和 P：＝ ｛x∈Rn：〈，x〉-cj≤0；j＝1，2，…，k｝.考虑如下的C-凸向量优化问题：

3）存在c*∈C+＼｛0｝和tj≥0（j∈I（）），使得

与命题4.2类似，对优化问题（8）的理想解，有

反之，任取c*∈C+.假设存在tj≥0（j∈I（））使得（10）成立.由（9）式可知，一定有0∈φ′c*（）+N（P，）.因为φc*是凸的，则是φc*在P上的一个极小值.因此，对任意x∈P，有f（）≤Cf（x），由此可知，对任意x∈P和c*∈C+，都有〈c*，f（）〉≤〈c*，f（x）〉.所以是（8）式的一个理想解.

根据命题2.4及命题4.1，得到如下结论.