向量优化问题的一类非线性标量化定理

太原科技大学应科学院数学系 王玉鹏

在广泛的数学中，向量优化属于较为重要的规划分支。目前对向量优化进行研究的重要课题为向量值目标函数转变成为数值函数标量化技巧，其中，在对偶、数值计算等方面应用标量化方法有着至关重要的作用。分析研究线性标量化的方法中，与其等价以及凸集分离定理的“择一定理”有着重要的作用。为此，在一般情况下，需要要求问题目标的约束函以及函数均满足凸性条件，但是因过多的实际问题导致不能够满足凸性条件的假设，因此大多数学者从一开始就找寻性质较好非线性标量化函数，方便给出最理想的向量优化问题的非线性标量化结果。其中，非线性标量化函数如下：△函数和Minkowski型的Gerstewitz泛函。分析性质较好为Gerstewitz泛函，在条件许可下，能够单调递增、次可加、正齐次、连续的，为此，在一般情况下大多数学者在对向量优化问题的对偶以及近似解等进行研究时，均采用Gerstewitz泛函。目前，在向量优化理论研究中，向量优化问题的近似解已经成为研究的重点，主要源于如下方面：（1）在非紧性条件下，即为弱，可有效一般不存在，而近似（弱）有效解在较弱的条件下可能存在；（2）在计算的过程中，应用数值算法在一般的情况下产生是优化问题的近似解；（3）优化模型的建立通常是在对实际问题作出简化假设的基础上建立的，模型反映现实问题一般有误差。由此可见，从理论以及应用的角度，对向量优化问题的近似解研究均为有意义的存在。

根据有关资料证实，是学者Loridan以及Kutateladze提出了向量优化问题的近似解概念，随即White又提出了6种E有效解的概念。现如今，Gutierrez等学者将利用co-radient集定义了向量优化问题的（G￡）——（弱）有效解的概念，同时对相关性质进行了研究。利用Gerstewitz泛函通过非线性标量化方法建立了（GE）一弱有效解的一个必要条件。由上述可见，在以往研究的过程中，有诸多学者发现了许多近似解都是它特殊的情况。

为了更好地分析和研究Minkowski型Gerstewitz泛函在向量优化中的应用概念，进行如下报道。

一、预备知识

设x，y是实拓扑线性空间，集合A c y非空。A拓扑的内部、拓扑闭包和拓扑边界分别记为int（A），cl（A），bd（A）。若≠A≠Y，称集合A是真的；如果对任意的d∈A，a＞1，都有ad∈A，则称A是co-radiant集合；如果存在q∈A使得ag+（1-Q）y∈A，Vy∈A，Va∈（0，1），则称A是星形的，且将A中满足上面式子的所有a组成的集合记为kern（A）。记A（ε）=εAA（0）=Uε＞0A（ε）。

据Guti6rrez等学者对星形真co-radiant集提出的性质，得出如下均论：

引理1.1 设Ccy是星形的真co-radiant集，而且int（kernC）≠0，则C具备如下性质：

根据有关资料引理得知：

故只需证明ε=0的情形。再由d的任意性即证得式：cl（C（0））+R++qCint（C（0））（kernC）。

因q∈int（kern（C）），则存在零邻域V0，使得（kern（C））。

对任意的d∈cl（C（o）），t＞0。因d∈cl（C（o）），则存在网{da}∈c（o），使得limada=d。

再由d的任意性即证得式（1.2）。

接下来证明：

因q∈int（kern（C）），则存在零邻域V0，使得（kern（C））。

对任意的d∈cl（C（o）），t＞0。因d∈cl（C（o）），则存在网，使得limada=d。

此时对于零邻域V0和t＞0，存在ao，使得对任意的a≥ao，有d-da∈tV0，从而a+1/t（d-da）int（kern（C））。于是由式（1、2）知，对任意的a≥ao，d+tq=da+t（q+1/t（d-da））∈int（C（0））。

再由d和t的任意性即证得（1.3）式。

注1.1（i）引理1.1是对文[11]中引理5.2的进一步完善。

（P）min，f（ㄨ）

s.t.ㄨ∈ S。

其中，：X—Y，g≠S c

Y。

定义1.1 设ε≥0，X拔∈S。

（i）如果

（f，（X拔）一C（ε））n f（s）C{，（X拔）），

则称X拔是问题（P）的（c，ε）-有效解。（P）的所有（c，ε）一有效解构成的集合AE（f，C，ε）。

（ii）如果

（f（X 拔）-intC（ε））n，（S）=0，

则称X拔是问题（P）的（c，ε）一弱有效解。（P）的所有（c，ε）一弱有效解构成的集合记为WAE（f，C，ε）。对于数值优化问题

（SP）minψ（X），

（i）若

则称X拔是问题（SP）的严格ε-最优解。（SP）的严格ε-最优解集记为AMin（ψ，0）。

（ii）若

ψ（z）＞ψ（X拔）-0，Vz∈z＼{X拔），

GSpfert等人考虑了如下形式的Minkowski型Gerstewitz泛函。

其中，0≠G c Y，q∈Y。

引理1.2设G c Y是一个真的、具有非空内部的集合，q∈Y满足

cl（G）+R++gc int（G）

由引理1.1可知，当C c Y是星形的真co-radiant集，且in（tkernC）≠0时，则有

cl（C（e））+R++gCint（C（e）），Vq ∈ kern（C），ε≥0

由此，利用引理1.2的结果，可以直接得到关于星形真coradiant集的如下分离性质。

引理1.3设C c

Y是星形的真co-radiant集，且in（tkernC）≠g。取q∈in（tkernC），则

利用上述非线性标量化函数类，我们对向量优化问题（P）考虑如下相应的标量化问题：

其中y∈Y，q∈int（kern（C）），￡≥0。

注1.2当C是星形co-radiant集且q∈int（kren（C））时，对任意的E≥0，条件“cl（c（E））+++q∈int（C（e））”成立，且有q，cl（c（（·）=口，G（。）（·）。所以，本文是在星形条件下利用Gerstewitz泛函‰，G忙）通过非线性标量化方法研究I；-J J题（P）的（C，ε）。（弱）有效解的等价性刻画。而文f[11]考虑的是E＞o时问题（P）的（C，ε）一弱有效解的必要条件，故本文是对文[11]的进一步改进与完善。

考虑向量优化问题：

2（C，ε）-（弱）有效解的刻画

首先，估计出其对应的非线性标量化函数φq，c（ε）在零点处的值。引理2.1设CcY是星形的真co-radiant集，且int（kernC）≠0。取q∈int（kernC），则

（i）当 ε＞o时，φq，c（ε）（0）=ε·φq，c（ε）（0）∈[0，ε）；

（ii）当 ε=0 时，φq，c（ε）（0）=0。

证明（i）当ε＞0时，有

下面只需证明：φq，c（0）∈[0，1），

（ii）当ε=0时，因C是真co-radiant集且q∈int（kernC）C，故 φq，c（ε）（0）=inf{t：tqε（o）}=inf{t：tq ∈ UεC）=o

现在证明式，（f（s）-，f（X拔））n（-（c（ε）））c{o}。

（ii）定理在C是星形真co-raHiant集且q∈int（kren（C））的条件下，利用Gerstewitz泛函q1C（ε）通过非线性标量化方法给出了问题（P）的（C，ε）。弱有效解的等价性刻画，并说明了标量化问题（SP。^Ⅳ）的严格最优近似解是问题（P）的（C，￡）一有效解。这里需说明，当C是不含零点的闭集时，问题（SPqey）的严格最优近似解可以刻画问题（P）的（C，ε）一有效解，即虿X拔εAE（f，C，ε）X拔∈SAMin（q，C（ε），f（X 拔 of，β）），ε＞0

总之，在本次研究中，将证实最大严格单调函数的广泛应用前景以及重要性。并围绕Gerstewitz泛函与最大严格单调函数进行深入的研究和探讨，希望开拓新的内容，建立新结果。