Huber-based滤波在非合作航天器相对导航中的应用

施常勇 王 向

1. 上海航天控制技术研究所，上海 201109 2. 上海市空间智能控制技术重点实验室，上海 201109

非合作航天器相对导航是完成在轨服务的前提，主要航天大国均开展了相关研究。在对非合作航天器的测量过程中，测量设备的误差通常较大，角闪烁、目标机动等一些不确定因素也会对测量产生影响，为提高相对控制的精度，一般引入滤波处理。

目前，扩展卡尔曼滤波(EKF)是研究相对导航问题的主要手段，文献[1]和[2]均采用EKF作为导航滤波器，且在文中假设噪声输入为严格的高斯过程，然而实际问题常常不满足这一条件，严重时会导致滤波发散。对于存在非高斯噪声输入的系统，通常采用的滤波方法有UKF滤波[3]、H∞滤波[4]、L2/L∞滤波和L1滤波[5]等。1964年Huber 提出了广义极大似然估计，即M估计，并提出一种用于解决在Gaussian分布附近存在一定对称干扰的随机量(即混合高斯分布)问题的实用方法，即Huber方法[6]。该方法结合l1/l2两种范数构建代价函数，对于干扰为高斯分布的情形，可以使最大渐进估计方差达到最小；其鲁棒性优于基于l2范数的估计方法，尽量保持了纯高斯分布时l2范数的估计效率，同时结合Kalman滤波的优点，形成了Huber-based滤波(HBF)，该滤波器通过结合l1和l2范数估计器的特点，在处理对于量测噪声为受污染的高斯白噪声时具有较强的鲁棒性，能够很好地实现系统的状态估计。

本文将HBF应用于非合作航天器相对导航中。仿真研究针对输出噪声为高斯和混合高斯分布的情况，考虑目标存在机动过程，对比了HBF滤波与EKF滤波的性能。具体安排如下：第1节，简要介绍HBF算法；第2节，给出相对导航系统模型；第3节，针对不同工况进行数学仿真校验；第4节，对全文进行总结。

1 Huber-based滤波器

设系统方程为：

(1)

其中，x和z分别为状态值和量测量;ω和ν分别为系统模型误差和测量噪声。

1.1 状态预测

(2)

(3)

(4)

Fk=∂f(x,u,ω)/∂x|x=xk

(5)

其中,Φk/k-1为离散系统一步转移矩阵;T为滤波周期;xk+1|k和Pk+1|k为预测状态估计值和状态估计误差协方差阵。

1.2 测量更新

(6)

系统测量矩阵离散化后可写成如下形式：

(7)

定义如下变量：

则：

yk=Mkxk+ξk

(8)

求解式(8)可采用线性回归近似的Huber方法，定义代价函数ρ(·)，取其最小值， Huber代价函数定义如下：

(9)

(10)

(11)

求解上式可通过迭代解法：

(12)

(13)

Huber定义了一种代价函数的形式：

(14)

γ为调节参数，这种代价函数结合了l1，l2范数的性质，具有较好的鲁棒性，其中γ在1～2 之间取值，一般选择调节因子为1.345[7-8]，Huber已证明，当ρ(·)函数选择式( 14) 的形式，选取该调节因子，HBF对受污染的高斯分布具有渐近最优鲁棒性。

状态估计误差协方差阵为

(15)

Xk+1=Xk+Ek

(16)

(17)

式中，Λ为待求矩阵。

2 相对导航系统设计

相对导航中，两航天器的关系如图1所示。

图1 相对导航坐标系

设跟踪航天器相对J2000惯性系的位置矢量为ro；目标航天器相对J2000惯性系的位置矢量为rt；目标航天器相对跟踪航天器的位置矢量为ρ。

1)相对运动方程[12]

(18)

其中，n为跟踪航天器轨道角速度；fx，fy和fz为轨道调整或变轨过程中控制力引起的加速度，可以通过加速度计测量得到；ωx，ωy和ωz为干扰加速度，主要由方程推导过程中的近似处理以及各种摄动加速度引起，用白噪声近似。将式(18)写成矩阵形式为：

(19)

2)相对测量设备测量量定义

相对导航常用的测量设备有微波雷达和激光雷达、光学相机与激光组合测量系统等，输出形式如图2所示。

图2 相对测量设备输出定义

ρ为目标星相对于追踪星的视线距离；

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α为目标星在追踪星相对导航敏感器测量坐标系中的方位角，定义为目标星相对追踪星视线在测量系XY平面的投影与X轴之间的夹角，偏向+Y轴方向为正；

β为目标星在追踪星相对导航敏感器测量坐标系中的高低角，定义为目标星相对追踪星视线与其在测量系XY平面投影之间的夹角，偏向-Z轴方向为正。

具体定义为：

3)量测与量测方程

(20)

其中：

相对导航量测方程为：

Z=HX+DV

(21)

间接测量的量测噪声方差矩阵为：

E(DV, (DV)T)=D·E(V,VT)·DT=DRDT

(22)

3 仿真校验

为校验HBF在相对导航系统的可用性和适应性，采用高精度轨道动力学仿真2颗航天器的空间飞行轨迹，敏感器的误差设置如表1，对高斯分布型噪声、混合高斯噪声及目标机动等3种工况，分别采用HBF和EKF进行仿真校验。

相对导航周期：T=0.4s。

表1 敏感器误差参数设置值(3σ)

3.1 正常误差工况

采用表1中设置的敏感器误差参数，HBF和EKF仿真曲线如图3～4所示，从图中可以看出，HBF相对EKF处理误差小，且较平滑，其中HBF导航精度为2.03m，速度精度0.04m/s，而EKF相对导航位置精度为3.59m，相对速度精度为0.11m/s。

图3 三轴相对位置估计误差

图4 三轴相对速度估计误差

3.2 混合高斯噪声模型工况

为检验HBF和EKF在混合高斯模型下的仿真性能，相对测量设备的误差采用混合高斯噪声模型，其表达式[15]为：

f(υk)=(1-ε)N(0,σ1)+εN(0,σ2)

(23)

仿真时，ε取0.6，σ2=2σ1，由表2可见，无论是高斯还是混合高斯分布情况下，HBF均表现出较好的导航性能：

表2 各算法运行结果

3.3 目标机动工况

采用表1参数，在t=500s时，目标星以0.1m/s的速度远离跟踪星(x向)，则两型滤波器的滤波误差曲线如图5～6所示：

图5 三轴相对位置估计误差(目标机动)

图6 三轴相对速度估计误差(目标机动)

从图中可以看出，EKF比较快速地敏感到速度的增加，而HBF则有一定的延迟，但HBF相对较平滑地实现了位置和速度的滤波估计，且最终精度依旧比EKF高。

4 结论

针对传统Kaman滤波在输入噪声为非高斯噪声时导航精度下降、甚至发散的问题，研究了Huber-based滤波器在空间非合作航天器相对导航系统中的应用技术，采用间接滤波方法，搭建仿真模型，对所设计的相对导航系统进行了仿真校验，并将其与EKF进行对比分析。仿真表明，HBF性能较EKF优，且具有较好的鲁棒性和稳定性，具有较强的工程应用价值。