高考中坐标系与参数方程选讲考点解题探究

林伟城 苏玉蓉

摘 要：高考是教育事业发展中的重要环节，是对学生知识水平检验的重要方式，坐标系和参数方程作为高考中的重点题型，需要进一步进行研究和探索，在数学教学开展的过程中，参数方程是一大难点，教师想要让学生充分掌握参数方程和坐标系的解题方式，就要在教学过程中加强对其重点难点的讲解。本文主要对参数方程和坐标系之间的转化、动点轨迹的参数方程、曲线的参数方程求两曲线的交点等题型的解题方式进行了阐述，希望能够为高中的坐标系和参数方程的考点教学提供帮助。

关键词：坐标系；参数方程；解题探究

当前我国的教育发展开始面临着重要改革，但应试教育依然是我国的主要测评形式，想要全面提高学生的数学水平，就要明确高考的主要考点，开展针对性教学，课堂教学的主要目标是让学生能够做到根据已经掌握的数学相关知识点，自主的进行问题的分析和解答。近年来，坐标系和参数方程成了高考的选做题之一，值得引起教师和教育工作者的关注，很多教师也开始将其作为重要教学内容来展开教学，为学生的高考成绩提供保障。

一、 参数方程与直角坐标方程的转化

考点：通过曲线的参数方程对曲线的类型进行判断

例题：在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为（2，π3）。

（1） 求圆C的极坐标方程；

（2） 在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l的参数方程为x=1+12t

y=-2+32t（t为参数），直线l与圆C相交于A，B两点，已知定点M（1，-2），求|MA|·|MB|。

解析：本题主要考察的是极坐标方程和直角坐标系方程的转换，在进行解题的过程中我们要先对题中所给的条件进行分析，将可能用的知识点进行确定，在进行问题的解答时要对方程间的关系进行确定，同时注意参数t的变化，了解其变化的范围。（1）设P（P，θ）是圆上任意一点，则在等腰三角形COP中，OC=2，OP=P，∠COP=|θ-π3|，而12|OP|=|OC|cos∠COP 所以，P=4cos（θ-π3）即为所求的圆C的极坐标方程。极坐标方程的求解过程中要对P点进行确认，根据条件可知三角形COP为等腰三角形，确定两条边的关系，求出∠COP。

圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-3）2=4，即：x2+y2-2x-23y=0，将直线l的参数方程x=1+12t

y=-2+32t（t为参数）代入圆C的方程得：t2-（3+23）t+3+43=0，其两根t1，t2满足t1·t2=3+43，所以，|MA|·|MB|=|t1·t2|=3+43。本题在解答过程中要注意直线方程l的变化，我们需要做的就是消除方程中的参数，但这一过程中要注意方程中的变量取值，要与参数进行相对应，而且在进行参数消除的过程中所采取的方式也要根据方程的特点来进行调整，常用的消除参数方法有：代入消除，这是本题的解题手法，代入消除参数，可以通过加减或者乘除，除此之外还有换元法，用代数或者是三角换元来进行消除等。

二、 动点轨迹的参数方程

考点：动点轨迹的极坐标方程和参数方程

例题 在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM·PF=0，PM+PN=0

（1） 求动点N的轨迹C的方程；

（2） 设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1+k2=2k0。

解析：想要解答这类题型，要对题目的类型进行判断，一般来讲分为以下几点方式，按照基本动点求解知识进行建系设点，列出等式进行化简；如果是动点围绕已知曲线的动点进行运动，可以将转化后的已知动点的坐标带入到曲线方程，求出轨迹方程；还可以通过动点的运动规律的研究，找出与之相匹配的曲线定义来求出轨迹方程，在求两条曲线的交点的轨迹方程的过程中，要选出一个合适的参数，进行含参数等式的求解，再消除掉参数，求出轨迹方程。

（1） 设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）由PM+PN=0可知，点P是MN的中点，

所以a+x2=0

0+y2=b即a=-x

b=y2所以点M（-x，0），P（0，y2），所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）。分由PM·PF=0，可得-x+y24，即y2=4x。所以动点N的轨迹C的方程为y2=4x。

在进行解题的过程中，得到题中要求的是动点轨迹的方程，首先我们要先设出动点的坐标，N、M、P在对三个坐标建立起等量关系，得出结论P为NM的中点，再求出M、P的实际坐标值，将三点之间的关系尽量明确，这时再進行等量关系的化简，然后确定取值的范围。

（2） 设点Q（-1，t），由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y2=4x相切，建立方程y2=4x，y-t=k（x+1）整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0，则Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，化简得k2+tk-1=0显然，k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，所以k1+k2=-t又k0=-t2，故k1+k2=2k0所以命题得证。题中的第二小题主要是证明三角线的斜率关系，解答过程中要对坐标的关系进行明确，先设点Q，再根据所得的方程列出方程式，然后化简求证。

再根据轨迹方程来求坐标的过程中通常使用两种方式，如果是参数方程，可以将参数方程变为直角坐标系方程，然后绘制出图像，得到坐标，还可以将方程在坐标系上表现出来，得到坐标。

三、 曲线的参数方程求两曲线的交点

考点：曲线的参数方程求两曲线的交点

例题 已知两曲线参数方程分别x=5cosθ，y=sinθ（0≤θ<π）和x=54t2，y=t，t∈R它们的交点坐标为

解析：x=5cosθ，y=sinθ表示椭圆x25+y2=1（-5

还有一种题型是通过参数方程或者极坐标方程来求两点之间的距离，在解答这类题型时我们经常采用余弦定理，余弦定理的运用就等于知道了三角形的两边长，并且还能知道两边的夹角，很容易求出第三边，再将题中的参数方程转化为直角坐标方程进行问题的解答。

四、 总结

综上所述，想要顺利地进行解题，首先要对基础知识有一定掌握，这样才能根据题意来明确知识点，同时坐标系和参数方程的求解经常会使用到，直角坐标系的转换，教师要在教学过程中对这一基础知识进行反复的讲解，来加深学生的记忆。数学是一门逻辑性很强的学科，想要学好数学就要具有很强的逻辑思维和独立思考能力，在遇到问题时，能够将题中所给的已知条件进行系统化的分析，避免将出现条件遗漏，具有较清晰的思维来进行问题流程的制定。

参考文獻：

[1]王琦.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].科学大众（科学教育），2017（01）：28.

[2]张丹丹，林若兰.近几年高考坐标系与参数方程试题分类及解法[J].遵义师范学院学报，2014，16（06）：122-124.

[3]段鹏硕，刘根友，龚有亮，郝晓光，王娜子.空间坐标系变换的函数梯度描述方法[J].测绘学报，2014，43（10）：1005-1012.

[4]张军海，胡文亮，谷宝庆，李仁杰.斜角坐标系量化图形的数学基础研究[J].河北师范大学学报，1999（01）：128-132+136.

作者简介：

林伟城，福建省莆田市，莆田第二中学；

苏玉蓉，福建省莆田市，莆田第一中学。