从问题中来 到问题中去——《从问题到方程（1）》课堂实录与反思

袁 乐

（南京市雨花台中学，江苏 南京）

“从问题到方程”是苏科版初中数学教材七年级上册第四章第一节的内容，是学生学习一元一次方程内容的起始点。《义务教育数学课程标准》对这一内容的教学要求是：“能根据具体问题的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量相等关系的有效模型。”仔细揣摩，可见本节课是一节典型的数学建模课，新的内容来自于学生的现实生活，同时又依赖于学生原有的知识基础。这节课可以帮助学生了解方程在解决现实问题中的作用，同时能够调动学生在学习本章内容的积极性，激发学生学习方程的兴趣。

【教学目标】

1.经历把实际问题抽象为方程问题的过程，体会方程是解决实际问题的有效模型；2.通过观察、比较、分析和思考，归纳出用方程解决问题的一般思考方法；3.感受数学在生活中无处不在，形成用数学知识解释和解决生活中的一些现象和问题的意识。

【教学重点】

用方程表示实际问题中的数量关系。

【教学难点】

引导学生自主探索简单实际问题中数量之间的相等关系。

【教学过程】

师：同学们，很高兴认识大家，今天就由袁老师为大家上一节数学课。希望同学们能够积极思考，踊跃举手发言，老师期待着你们的表现！

师：在现实世界的许多实际情境中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的数量关系。

（一）精选问题情境，突出方法总结

师：让我们先从生活中常见的天平入手，你能解决这个问题吗？

问题情境1：天平的左盘中有两个相同的小球和一个质量为1g的砝码，右盘中有一个5g的砝码，此时天平恰好处于平衡状态。你能求出一个小球的质量吗？

（学生分别用算术方法和方程方法作答，教师分别板书并予以肯定。）

师：你是依据什么样的相等关系列出方程的呢？

生：左盘质量等于右盘质量。

师：同学们分析得很好，这个问题用算术方法和方程方法都能求解。那我们再来看第二个问题！

问题情境2：篮球联赛规定，胜一场得2分，负一场得1分。某篮球队一个季度赛了12场共得20分。你能求出篮球队共胜了多少场吗？

（学生自主选择算术方法或方程方法作答，老师分别板书并予以肯定。再请对应的同学说说是如何思考的，请在座的同学感受对比两种方法哪种更容易理解。）

问题情境3：袁老师今年30岁，小明同学今年13岁，问多少年后学生的年龄会是老师年龄的三分之二？

（学生尝试解答，发现此题用算术方法很难求解，绝大多数同学选择用方程解答。）

师：对比这三个问题情境的解决过程，老师请大家思考两个问题。

第一，对比算术方法解决问题和方程方法解决问题，谈谈你的感受。

（学生大致可以回答出方程在解决一些较为复杂的问题时比较好操作，算术方法需要逆向思维，而方程方法需要顺向思维，更好理解。）

设计意图：三个问题情境的解决方法各不相同，由算术方法逐渐转变成方程方法。对比后可以体会出方程在解决一些较为复杂的问题时的优越性，从而感受学习方程的必要性。学生在教师的引导下用数学语言来比较、归纳，尽管可能讲得不十分准确全面，但对于提高学生运用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的。在同学们陈述的过程中，教师应耐心倾听，多加鼓励。

第二，如何从实际问题出发分析得到方程？需要经历哪几个步骤？

（引导学生对解决问题的过程进行再思考、再认识，进而总结出“从问题到方程”的一般方法：①分析已知量和未知量，寻找相等关系；②设出适当的未知数；③根据相等关系列出方程。）

板书：

设计意图：规范用方程解决问题的一般步骤，既起到巩固的作用，又让学生感受到这种方法的便捷性。以后再遇到类似的问题时，有基本的思路和方法。

（二）设计归一问题，理解模型价值

“同学们，请你利用刚刚所总结的方法步骤，尝试解决下列问题吧！”

1．一个长为2米的长方形菜地的面积比5平方米少1平方米，设该菜地的宽为x米，则可得方程______．

2．把5kg大米分别装在2个同样大小的袋子里，装满后还剩余1kg，若设每个袋子装大米xkg，则可得方程_______．

3．小李购买了2个一样的小礼物，包括1元的包装费在内总价为5元．如果设小礼物每个x元，则可得方程_______．

（学生能够快速得到答案，三个方程都是2x+1=5）

师：这三个问题所列的方程是一样的，它们表示的实际意义一样吗？

学生交流讨论，得出“同一个方程可以表示不同的实际意义”。

师：不同的问题背景，可用同一个方程将之表示出来。可见方程是解决问题的一种好方法。方程是刻画现实世界数量相等关系的一种有效的数学模型！

既然如此，你能编一道题，赋予2x+1=5不同的实际意义吗？

（学生按照以下三个步骤在学习单上书写）

“我设计的问题是：__________________________；

其中的相等关系是：_____________________________；

可以用方程这样描述：_____________________________.”

（教师实物投影展示学生的回答，讨论交流，并强调所举例子应该符合现实生活实际，符合人们的生活习惯要求。）

师：根据最后一位同学的举例，老师将2x+1=5变成3x+2=10，你能再套用这个情景，即兴再编写一道应用题吗？

设计意图：引导学生尝试逆向思考、举一反三，从而扩展思维、深化认识，理解方程模型的价值。

（三）贴合生活实际，发展应用意识

师：同学们思维很活跃，下面让我们来一个更具有挑战性的任务。这里是小明同学的一篇秋游日记，这其中有好几处相等关系，你能发现它们，并用方程描述吗？

小明的秋游日记：“昨天我和小华为学校秋游活动统一采购水果。水果店老板说：“苹果每斤4元，橘子每斤2元”，我们用62元班费恰好买回两种水果共20斤。后来我们又分别用面值20元和10元的纸币各买了一份水果布丁。老板找钱后，哈哈，我找回的钱是小华找回钱的6倍！今天大家玄武湖划船的时候又遇到困难了。每条大船坐6人，每条小船坐2人，经过我的巧妙安排，全班50人恰好坐满11条船。大家都夸我聪明又能干！……”

（给学生充足的思考时间，并根据学生的回答，把相应的文字用不同的彩色线标示。划分出明确的三段文字情境，有利于学生继续在学习单上解决问题并回答。）

师：这本是一篇文采不怎么样的记叙文，同学们却能提炼分析出三个数学问题。真了不起！通过这个数学活动，你又有什么感悟呢？

生：虽然看似是记叙文，但里面包含许多数学问题和数学知识，以后遇到问题可以尝试从数学的角度来分析和思考！

师：这位同学说得非常好！生活中处处有数学，处处皆学问。希望同学们能够多多尝试利用数学知识去解释实际生活中的现象，解决实际生活中的问题！

设计意图：这篇“秋游日记”的教学方式非常新颖，语言描述也风趣幽默，学生在轻松活泼有趣的学习氛围中，发现原来秋游日记也可以和数学知识结合在一起玩！体会到数学与现实世界密不可分，激发学习兴趣，培养学生综合运用的能力。

（四）归纳小结感悟，提升思维内涵

师：请同学们观察黑板上我们所列举的这些方程，它们有什么共同点？

生：它们都有一个未知数，都是等式。

师：未知数的次数呢？

生：1。

师：（板书）像这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的方程，叫做一元一次方程。请同学们在学习单上，每人再列举三个一元一次方程。

（教师请同学们回答并板书，指出同学们举例中的一些错误，带领同学们辨识一元二次方程。）

师：同学们列举得很好，但时间有限不能一一展示。

师：本节课即将结束，我们做一个简单的小结。通过这节课的学习，你有哪些收获？

（学生畅所欲言）

（五）漫话代数之父，激发学习后劲

师：一元一次方程其实只是方程大家族中的一个常见成员，随着今后学习的深入，还有许多各式各样的方程有待同学们去发现和研究。古希腊有一位数学家叫做丢番图，他一生都致力于研究各种方程问题，被后人誉为“代数之父”。他的墓志铭上就刻着这样一段有趣的文字：“他生命的六分之一是幸福的童年，再活十二分之一，颊上长出了细细须，又过了生命的七分之一才结婚，再过5年他感到很幸福，得了一个儿子，可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半，儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世的生涯。”你知道丢番图去世时的年龄吗？

（学生思考交流）

师：下课铃声已经响起，这个有趣的问题在书本的104页，就留给感兴趣的同学课后继续思考！

【教学反思】

七年级的学生，根据小学的学习经验，已经能较为熟练地运用算术方法解决问题，从已知量出发，综合运用假设法和逆向思维解决问题。而方程是根据问题中的相等关系列出等式，已知量和未知量同时参与战斗，借助顺向思维列式，更加简明直观。本节课的教学通过让学生经历“实际问题、数学模型、生活数学”的转化过程，力求让学生感受到方程所刻画的现实模型意义，明确列方程的关键是找到合适的“相等关系”。通过对实际问题的研究，学生可以认识到日常生活中的许多问题可以用数学方法解决。从课堂情况来看，学习主体参与意识强烈，发言踊跃，思维活跃；学习方式多样，既有独立自主的探究，又有小组合作的交流。教学时层次分明、逐步推进，教师通过“秋游日记”环节，引导学生关注的是，从问题中来，到问题中去，体会数学的实际应用价值，坚定学好数学、用好数学的信心和决心。整节课教学流畅，承前启后，过渡自然，收到了良好的教学效果。