高中数学解题中的“分类讨论”方式渗透分析

李 生

（广西壮族自治区北流市高级中学，广西 北流）

传统数学教学中，教师只关注学生的考试成绩，对学生数学解题思想的掌握情况并不关心。随着教育改革进程的不断深化，教师逐渐意识到解题思想渗透的价值。分类讨论作为常见的解题思想，能够有效降低问题难度，帮助学生梳理解题思路，强化学生逻辑分析能力。因此，教师需要提高对分类讨论的重视，并将其巧妙地渗透至课程教育活动中。

一、图形变化

当前，由图形不确定性引起的分类讨论具体包括：函数问题中区间的变动，立体几何中点、线、面的位置变动，二次函数对称轴位置的变动，直线由斜率引起的位置变动，函数图象形状的变动，离心率引起的形状变动等。在讲解此类问题时，教师需要巧妙渗透分类讨论法，引导学生讨论问题条件，寻找解题突破口，从而准确回答问题。如：长方形ABCD中，在 BC 边上取一点P，使，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示

要想解决此题，我们只需建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模即可。

二、概念变化

由数学概念引起的分类讨论，我们可以将其理解为数学概念的扩展与延伸，借助对此类问题的合理分类，能够有效提升学生的解题能力。高中数学教学中，由数学概念引起的分类讨论非常多，教师需要有意识带领学生总结归纳知识，如直线斜率、指数函数、对数函数等。在解答有关数学概念的问题时，对概念进行分类，从而准确解答问题。

三、运算需要

由运算的需要引发的分类讨论包含二次方程运算中两根大小的讨论、除法运算中分母是否能够为零、解析函数单调性时导数正负的讨论、绝对值或等价变形等。在解题结束后，需要自主反思数学问题涉及哪些内容，梳理知识间的数量关系，并找到问题中的隐含条件。在此基础上，验证答案的准确性。事实上，一道问题有许多种解答，万变不离其宗，只需要把握好问题的本质，便能顺利解决问题。

例 3.已知在等比数列｛an｝中，a1＝1，Sn是其前 n 项和，且 ak＋1，ak＋3，ak＋2（k∈N）成等差数列．（1）求数列｛an｝的公比；（2）试判断Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2（k∈N）是否也构成等差数列，并说明理由。

解：（1）设等比数列｛an｝的公比为 q（q≠0），则 ak＋1＝qk，ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1，依题意得 2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于 qk≠0，所以 2q2－q－1＝0，解得 q＝1或

（2）当 q＝1 时，Sk＋1＝（k＋1）a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列

四、性质、定理、公式变化

此种问题大多集中在选择题与解答题上，难度中等，有一定难度，具体体现在数列、指数函数、对数函数上。通常情况下，数列、指数函数、对数函数、一次函数等性质定理等，在不同的环境下结论是有所区别的。在解决此类问题时，我们必须要谨慎，确定题目适宜分类讨论后再使用。

解析：通过解读问题我们可以得知点C的位置分两种情况，即在y轴正半轴和负半轴，我们先考虑正半轴的情况，画出图形，过C作CD⊥AB于D，结合直线的解析式不难得到点A、点B的坐标，进而得到AB的长，但是如何才能将其与待求联系起来呢？我们只需要结合折叠的性质可知AC平分∠OAB，至此借助角平分线的性质可知CD=CO=n，接下来该如何求解呢？结合上述分析可进一步得到△COA≌△CDA，则有DA=OA，至此在△BCD中建立关于n的方程，解方程求出n的值，进而即可得到此时点C的坐标，同理自己试着解答点C在y轴负半轴上时n的值，即可得到点C的坐标。

综上所述，数学解题思想的理解与掌握对学生而言至关重要，教师需要提高对其的重视程度。在日常教学活动中，带领学生总结分类讨论的应用方法与技巧，激发学生学习兴趣。在学生用此思想解答问题时，教师需要给予适当指导，帮助学生构建数学知识框架，无形中强化学生的数学思维能力。