发现素养：重构小学数学“发现学习”新范式

沈慧

摘 要：发现素养是学生数学核心素养的重要组成部分，内含学生学习的内在动机、直觉思维和自主反思。发现学习是学生素养的培育路径，发现素养是发现学习的价值取向。在数学教学中，教师要搭建学生发现学习平台，遵循学生发现学习的规律，拓展学生发现学习的可能，努力让学生数学学习处于发现状态，从而获得数学学习的高峰体验。

关键词：发现学习；发现素养；展开过程

当下，培育学生数学核心素养已经成为数学教学的价值取向。数学核心素养内容丰富，其中包括学生的“发现素养”。数学教学应当弱化基于灌输、记忆、再现等形式的“接受学习”，增强基于自主探究、理解和运用的“发现学习”。美国著名数学教育家G·波利亚在《数学与猜想》中深刻地指出，“在证明一个数学定理以前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你得先推测证明的思路”。在数学学习中，许多学生常常“不知道问题在哪里”，也“不知道能否解决”，更不知道“用什么方法去解决”。教师是培养学生“被动式吸收”，还是“引爆”学生隐藏着的提出“哥德巴赫猜想”的潜质？答案是显然的。数学教学应当创设有意义的情境，让学生明确所要解决的问题，激发学生的探究欲望，引导学生的自主探究、合作，让学生经历数学知识的“再创造”（创造）的数学发现过程，切实培育学生的数学发现素养。

一、发现素养：发现学习的价值取向

所谓“發现学习”，是指教师在数学教学中以学生为主体，以学生“学”为中心，让学生进行自主探索、合作与交流的过程。学生的发现学习过程是一个十分复杂的过程，需要经历从现实题材到数学问题再到数学模型的过程；经历从动作操作到表象操作再到符号操作的过程；经历从简单结构到复杂结构的过程。其间，学生或许还会碰到“山重水复疑无路”的束手无策的境况，甚至还会出现“病急乱投医”的情形等，这些都是学生发现学习中的现象可能。作为教师，要积极引导学生的数学发现，培育学生的发现素养。

1. 内在动机

学生的发现素养包括学生的学习动机，即学生的发现学习不是被动的，而是积极、主动的过程。学生的学习动机有内在的动机和外在的动机。其中，内在动机也就是对数学学习材料本身的兴趣是数学教学的动力之源。教学中，教师要运用数学本身的魅力去激发学生数学学习的好奇心、求知欲，激发学生数学发现的动力引擎。比如教学《3的倍数的特征》（苏教版小学数学五年级下册），教师可以出示一张“百数表”，学生在上面圈出3的倍数的数，能够发现这些数的排列不同于2的倍数的数和5的倍数的数，2、5倍数的数都在同一列，而3的倍数的数却位于斜线上。由此激发学生的数学猜想，引发学生自主探究3的倍数的数的特征。可见，学生的数学学习动机是启动、保持数学探索、数学发现的恒久动力。

2. 直觉思维

学生的数学发现需要一种“敏感性精神”。所谓“敏感性精神”，是指“在一瞥之下看出整个事物来而不靠推理过程”（帕斯卡尔），这就是一种数学直觉思维，是一种未经分析、没有清晰步骤，而对问题本质的顿悟，是一种灵感。直觉思维依赖于数学观察、数学类比、数学联想等非逻辑、非推理性的数学直感。比如教学“9加几”（苏教版数学一年级上册），教师可以创设问题情境：盒子里面有9个苹果，盒子外面有4个苹果，一共有几个苹果？有孩子能够不假思索地认为，将盒子外面移动1个苹果到盒子里面，盒子里面凑成10个。同样，教学“8加几”，学生能根据直觉思维，看到8个，要移动2个；同样的，看到7个，要移动3个，等等。这种直觉思维蕴含着凑十法的数学思想底子，是学生基于已有知识经验，受到情境启发而自然诞生的一种数学直感。

3. 自主反思

如果说内在动机着眼于学生数学学习的前期状态，直觉思维着眼于数学学习的中期状态，那么自主反思就是着眼于数学学习的后期状态。这是一种对过往实践或者心理活动的省察，是一种“自知的智力”，有时候往往能够促进学生的灵感生发，助推学生的数学发现。比如，在教学苏教版数学三年级下册的《认识面积》，学生的反思就可以催生学生的发现。如“不能直接比较两个图形的大小，怎么办？”“不同的图形，怎样才能让测量出来的面积具有可比性？”“怎样建立标准的面积单位？”等等。正是在不断地自主反思、自主追问中，揭示出诞生面积单位、统一面积单位、标准化面积单位的必要性。这样的自主反思，催生着学生的数学发现。在自主反思中，学生才真正地参与到数学学习中来，成为一名真正的数学发现者。

发现素养是学生在生命成长过程中逐步发展起来并作用于学生成长过程的重要素养。在数学教学过程中，教师要凝练发现目标，开放发现过程，促进学生深入地发现。“发现学习”要以学生为中心，精心设计学程，让数学课堂成为学生思维生长的乐园和数学发现的场所，从而发展学生数学发现素养。

二、发现学习：发现素养的培育路径

学生的数学发现素养并不是与生俱来的，而是在发现学习活动中生成的。培养学生的发现素养，需要让学生带着经验、思维和想象进入数学发现学习。学生在好奇心和求知欲的驱动下，能够进行自主发现、探究，并且获得数学化的思想方法。学生的数学发现学习必须遵循学生发现活动的心理规律，有意识、有计划、有目的地进行。

1. 搭建发现学习的平台

实施“发现数学”，需要教师搭建学生数学发现学习的平台。为了引导学生进行数学发现，教师应该把脉学生的知识经验，找准学生数学发现的心理起点；应当创设情境，点亮学生发现的数学眼光；应当给学生提供丰富的学习材料，夯实学生数学发现的沃土。比如教学《长方体和正方体的认识》（苏教版数学六年级上册），教师可以设置任务，驱动学生的数学发现。任务一：切一切。（友情提醒：先沿着竖直方向切一刀，你发现了什么？再换个方向切一刀，你又发现了什么？然后再换个方向切一刀，你还发现了什么？）任务二：看一看，摸一摸，你发现了什么？任务三：搭一搭。你一共用了多少根小棒？这些小棒的长度有怎样的特点？通过任务驱动，给学生搭建了一个在自主发现的时空。在这个时空下，学生自然建构出“面”“棱”“顶点”的概念，建构出“面”“棱”“顶点”的特征，等等。在这个数学发现的过程中，有争辩、有质疑、有挑战等，这些都是学生数学学习深度发现的重要组成部分，是学生数学发现素养生成、发展的根基。

2. 遵循发现学习的规律

学生的数学发现不是直接接受数学的结果，而是必须经历数学发现的过程。这个过程离不开学生数学发现的心理规律，也离不开数学发现的一般流程。因此，在学生数学发现学习的过程中，教师要从学生的一般认知规律出发，让学生经历提出问题、分析问题、解决问题、反思问题的一般步骤，设计出灵动、自然、深入的发现路径，开启、引导学生的数学发现。比如教学《简易方程》（苏教版数学五年级下册），教师可以通过天平的平衡与不平衡状态，天平托盘里有无物品，得到多个式子：x+50>100，x+50=150，50+50=100，50+100>120等。由于数学材料的结构性，能够催生学生对这些式子进行分类，有的按照有无未知数进行分类，有的按照是否是等式进行分类，如此，形成四类式子：没有未知数的等式；含有未知数的等式；没有未知数的不等式；含有未知数的不等式。由此自然揭示方程的本质——“含有未知数的等式”。学生经历了“观察—分类—归纳”的发现过程，能够感悟到数学知识的本质内涵。

3. 拓展发现学习的可能

数学发现的目的是运用，同时，數学运用也能产生数学发现。在数学教学中，教师要引导学生主动、创造性地迁移已有的数学思考、探究方法，尤其是要突破学生的数学思维定式，不断拓展学生数学主动发现的可能。只有拓展学生发现学习的可能，学生才能在数学学习中举一反三、触类旁通。比如教学《解决问题的策略一一列举》（苏教版数学五年级上册），有这样的一道习题：同学们玩套圈游戏，套中红瓶得8分，套中蓝瓶得5分，套中黄瓶得2分。小龙套中两次，可能得多少分？（列举出所有可能的答案）笔者在教学中，对之进行合理变式，层层深入。

问题1：小龙投中一次，可能得多少分？

问题2：小龙投了一次，可能得多少分？

问题3：小龙投中两次，可能得多少分？

问题4：小龙投了两次，可能得多少分？

由此，不仅唤醒了学生的相关经验，让学生理解了“一一列举”“有序列举”“分类列举”的策略，而且让学生发现了“投中”与“投了”的区别。在问题链的导引下，学生的数学思维逐步走向深刻、灵活。数学的变式运用，提升了学生数学学习的思维含量。

诺贝尔物理学奖获得者谢尔登·格拉肖在回答“培养一个杰出的科学人才的关键是什么”这个问题时说：“我认为关键在于让年轻人停止当学生，使他们开始成为物理学研究者。”发现学习，一方面沿着数学学科知识的生发历程，另一方面按照学生认知数学知识的规律展开教学，努力让学生的数学学习处于发现状态。教师要搭建学生数学发现的平台，遵循发现学习的规律，拓展学生发现学习的可能，让学生获得数学学习的高峰体验。