表达素养：数学核心素养培育的“风向标”

徐文文

摘 要：表达素养是学生数学“核心素养”的重要组成部分，是数学“核心素养”的外显标识。数学表达的实践样态有直观动作、具体形象和抽象符号。在数学教学中，动作、形象和符号，是形成学生表达素养的现实路径。数学表达能够增进学生对数学知识的理解，强化学生数学技能，内化学生数学思想，改善学生数学学习生态。

关键词：数学教学；核心素养；表达素养

发展学生数学“核心素养”，是当下数学教学的应然追求。数学“核心素养”的内涵是十分丰富的，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。学生的数学核心素养是如何展现的？其核心素养的外化表现是什么？笔者认为，学生的数学表达力是一个重要的表征。数学表达能够增进学生对数学知识的理解，强化学生的数学技能，内化学生的数学思想，改善学生的数学学习生态。

一、数学表达：核心素养外显的样态标识

语言是思维的外显形式和载体，它是简化、压缩了的数学思维。借助语言，学生不仅能够进行表达，而且能够进行交往。在数学学习中，学生的表达是丰富的，比如学生可以借助动作进行表达，可以借助图形进行表达，可以借助符号进行表达。教学中，教师要引导学生进行主动表达，跟进学生表达。通过表达，促进学生数学“核心素养”的发展。

1. 直观动作样态的表达

在数学表达中，学生的直观动作表达是常见的，尤其是低年级学生的数学表达更是如此。所谓“直观动作”，是指学生在数学学习中用一定的身体动作（包括比画、演示、操作等）来表达并传递某种信息。直观动作样态的表达具有直观性、互感性、释义性和情趣性。通过直观动作样态的表达，学生能将数学知识中最隐蔽、深刻的内涵彰显、敞亮出来。比如学习“认知周长”时，学生对“边线”的比画；学习“长方形的面积”时，学生对“平面大小”的比画；学习“认识厘米”时，学生对“厘米”长度表象的比画；行程问题中，学生对运动方式、时间等的表演等。直观动作样态的表达能构筑立体化、多元化、情趣化的对话空间，促使学生数学理解走向深入、深刻。

2﹒ 具体形象样态的表达

著名数学家华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休”。学生在数学学习中，其思维由具体形象向抽象逻辑过渡，离不开形象的支撑。所谓“具体形象”，主要就是借助具体图形（包括实物图、示意图、线段图、集合图等）进行学习。通过图形样态的表达，学生能将抽象的数学问题直观化，将自我的思维可视化。比如“分数应用题”中“单位‘1的量和单位‘1，比较量和分率之间的对应关系”，就必须借助直观的线段图才能让学生获得理解。再比如“乘法分配律”，可以借助长方形的面积图来进行诠释。通过形象样态的表达，学生能够将抽象的数学问题、看不见的思维过程及方法清晰地呈现出来。

3﹒ 逻辑符号样态的表达

数学家第尔曼曾说过：“数学是语言的语言，通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演。”在数学学习中，学生借助数学逻辑样态的符号进行表达，能够发展学生的符號化思维能力。数学符号具有抽象性、概括性、简约性、包摄性等特质。比如“间隔排列”问题，当学生在摆学具、画图之后，教师要引导学生进行概括，用抽象的符号表征中间物体和两端物体之间的关系；又比如概括正反比例关系式xy=k（一定）和y÷x=k（一定），用数对（x，y）确定位置等。这些逻辑符号样态的表达，能够催生学生的符号想象，激发学生的符号思维，进而丰厚学生的数学“核心素养”。

二、数学表达：核心素养培育的路径观照

学生数学表达能力的培养是一个循序渐渐、序列化的系统过程。在学生运用语言对数学知识进行表达的过程中，教师要加强指导。提升学生数学表达能力的过程，也就是培育学生数学高阶思维的过程。聚焦学生的数学表达，教学中教师要引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，从而通过数学表达，让学生的数学“核心素养”发展落地生根、开花结果。

1. 动作表达：在直观中发展核心素养

动作表达，主要是学生借助操作、实验、手势等对数学知识进行表征。动作表达，一方面能让学生内隐的思维外化出来；另一方面，有助于增进同伴的理解。通过动作表达，积累学生感性经验，发展学生直观想象力。在这个过程中，教师要注重融通学生的思维和想象，打通学生感性与理性的通道。

例如：教学《千克和克》（苏教版小学数学教材三年级下册），部分学生对千克这样的一个质量概念的认知容易受到体积概念、密度概念的影响，如他们总是认为1千克铁比1千克棉花重。基于此，笔者在教学中让学生从家中带来了铁和棉花，用天平进行直观演示，让学生直观感知相同质量的棉花和铁，体积不一样，但天平能够保持平衡。这样的教学，有助于学生理解数学知识的本质。再如：教学《相遇问题》（苏教版小学数学四年级下册），学生用两只手，手心对手心，表示相向而行；用手背对手背，表示相背而行。而无论是相向而行还是相背而行，其数学本质都属于“相遇问题”。又如：教学《年、月、日》，对于平年和闰年的规律，引导学生借助拳头，凸起的地方是大月，凹下的地方是小月，这样有助于学生记忆。动作表达，让学生在直观中理解数学，积累学生的感性经验。

作为一种无声的语言，直观化的动作丰富而灵动、微妙而富有趣味，简约而不简单。有时候，学生的动作犹如一个信息发射塔，能够让知识的内涵、意蕴在悄然间得以心领神会。借助动作，能够为学生打开一扇理解数学的窗户，让数学课堂的有声语言和无声语言相得益彰。

2﹒ 图形表达：在形象中发展核心素养

图形表达是一种感性化的表达，具有形象性、易理解性特质。数学学习中的图形主要包括“示意图”“流程图”“统计图”“网络结构图”或“思维导图”等。在数学教学中，我们可以根据实际情况，选取合适的图形，用以进行形象化的表达。实践证明，图形表达能够化抽象为直观。将抽象的、复杂的数学问题（包括算理、推理、题意、意义等）直观、形象地画出来，能助推学生的数学理解，激活学生数学创造。

例如：教学《分数乘分数》（苏教版小学数学教材六年级上册），教师可以借助长方形图，引导学生理解算理。如×，教师可以引导学生首先把一个长方形看作单位“1”，平均分成5份，表示这样的3份，涂色表示出来；然后将这3份作为一个整体，看作单位“1”，换个方向平均分成5份，表示其中的2份，涂上双阴影。这样，就相当于将整个长方形看作单位“1”，平均分成25份，表示这样的6份。借助这样的长方形图，学生能够深刻地理解“分数乘分数”。这样的可视化教学，让抽象的算理变得形象，让枯燥的法则变得生动。学生不仅理解了数学知识，更增进了对数学知识的亲近感，让数学教学变得事半功倍。

数学家拉格朗日说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸收新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完美。”可视化图形是教师了解学生思维水平、方向和动态，表征抽象的数学知识的最好的载体。通过形象化的图形，数学的抽象知识看得见、摸得着，学生的数学思维能够获得可视化支撑。

3﹒ 符号表达：在抽象中发展核心素养

相较于直观动作表达和具体形象表达，数学符号的表达更具有数学的规范性、严谨性、逻辑性。符号既是一种数学语言，也是一种数学工具，更是一种数学方法。符号的经历、体验、运用等应该贯穿于学生数学学习的始终。如果说，动作是在直观中、图形是在形象中发展学生的核心素养，那么，符号表达就是在抽象、推理中发展学生的核心素养。

例如：教学《数的奇偶数》（苏教版小学数学五年级下册），对于“奇数+奇数=奇数”“奇数+偶数=奇数”“偶数+偶数=偶数”等如何证明呢？有学生用举例（假设）的方法来进行判断，但始终不能认识到这样运用的数学本质。基于此，笔者在教学中运用符号进行表达，引导学生的数学认知向纵深推进。如“（2n+1）+（2n+1）=4n+2”“（2n-1）+（2n-1）=4n-2”“（2n+1）+（2n-1）=4n”，这样的符号化运算，形成了学生独特而深刻的理解。有学生认为，正是从第一个奇数中拿出1，再从另一个奇数中拿出1，将这两个1合成2，所以和是偶数；有学生认为，从第一个奇数中去掉1，再从第二个奇数中去掉1，这样两个奇数就变成了偶数，偶数和偶数合起来还是偶数；有学生认为，从第一个奇数中拿出1去补充第二个奇数，所以两个奇数都变成了偶数，即两个奇数相加的和是偶数……

符号是人们进行数学表示、计算、推理和交流的工具。在数学教学中，教师要鼓励学生使用符号表达信息，使用符号进行运算、推理。只有这样，才能增强学生的符号化意识和符号化能力。通过数学符号，让学生学会数学思考，为学生终身发展奠基。

數学表达素养是学生数学核心素养的重要组成部分。在学生表达素养生成过程中，教师要有清晰的培养目标、多样的培植策略、持续的培育指导。通过数学表达，帮助学生建构对知识的理解，强化学生对技能的掌握，呈现学生的数学观察、实验、猜想、运算、推理、验证等思维过程及数学问题解决的思路方案，不断发展和提升学生数学“核心素养”。