基于GM(1,1)模型的我国人口老龄化预测

李 明

（苏州工业职业技术学院 建筑工程与艺术设计系，江苏 苏州 215104）

0引 言

我国作为人口大国，人口数量和结构的变化直接影响经济发展进程。改革开放30年，人口红利为经济注入了一剂强心剂，使得我国经济快速增长[1]。但随着世界经济环境的变化，我国经济发展进入了新常态，人口红利优势正逐渐减弱，并且很快将由人口红利转变为人口负担。基于此，本文通过建立GM（1, 1）预测模型，观察我国人口老龄化趋势，探究有效缓解人口老龄化危机的方法。

1人口老龄化标准及特点

人口老龄化是指人口生育率降低和人均寿命延长导致的总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态变化过程。人口老龄化有两个含义：一是指老年人口相对增多，在总人口中所占比例不断上升的过程。二是指社会人口结构呈现老年状态，进入老龄化社会。在国际上通常认为，当一个国家或地区60岁以上老年人口占人口总数的10%，或65岁以上老年人口占人口总数的7%，就意味着这个国家或地区的人口处于老龄化社会[2]。一般人口老龄化状况会呈现出两大特征：一是人口老龄化状况会提前出现高峰。各国为了控制人口增长过快，国家层面会推行计划生育政策干预人口出生率，人口生育率下降，不可避免地使国家提早出现人口老龄化高峰。二是在经济不够发达状态下进入人口老龄化，会出现“未富先老”的状况，延缓解决人口老龄化问题的进程。据国家统计局官网数据显示，2015年我国65岁及以上的老年人口达1.4386亿人，相比2014年增长4.1%，老年人口抚养比已达14.3%[3]。预测人口老龄化进程可为我国采取相应对策提供可参考的依据。

2数学模型的选择

人口问题是由众多因素诸如生育、死亡、社会、经济、疾病、灾害、环境等共同影响和制约的结果。人口问题的众多制约因素，无法仅通过几个指标进行表达和量化，更无法进行精确计算得出一个结果。它所反映的情况具有明显的灰色性质，即以贫信息、不确定性系统为研究对象，介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统。如果某一系统全部信息都是已知的称为白色系统；全部信息都是未知的称为黑箱系统；部分信息已知、部分信息未知的称为灰色系统。灰色系统适合用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包含的内在规律，因而选择灰色模型对人口老龄化进行预测。

3 GM（1, 1）模型的构建

3.1 基本数学思想

将已知的原始数据序列按照某种规律进行累加，构成动态或非动态新的数据序列，新的数据序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解进行逼近。GM（1,1）模型构建不需要许多原始数据，能将无规律的原始数据进行重新处理后得到规律性很强的生成数列，运算简单，易于检验，不用考虑数据分布规律，预测精度较高[4]。

3.2 模型构建的基本原理

常规的GM（1, 1）模型是灰色预测模型的基础，通常称为单序列一阶线性动态模型。设X(0)为非负的原始时间序列数据，X(1)为X(0)的一次累加生成数据数列，即：

其中X(1)( k )=x(0)(m), k=1, 2, …, n，而其对应的灰导数序列的紧邻序列可用均值方式表示为：

其对应的分序列为：

而其对应的GM（1, 1）灰微分方程可归纳为：

此为GM（1, 1）模型的基本形式，其中，a, b分别为发展灰数和内生控制灰数，为待辨识的参数。

令k=2, 3, …, n，可将模型进一步表示为：

利用最小二乘法可求得参数结果为= ( BTB)-1BTY。若将x(0)( k )的时刻视为连续，则灰微分方程相应的白化方程为：

将a, b代入可得到其解为时间响应函数为：

则GM（1, 1）模型的时间响应序列为：

则其还原值为：

3.3 模型精度检验

模型建立后，需要通过检验才能判断选取模型是否合理，只有通过检验的模型才能用于预测。GM（1,1）模型精度检验方法有残差检验、关联度检验和后验差检验。

（1）残差检验。残差检验是一种逐点检验方法，按预测模型计算(1)( k )，进行累减生成(0)( k )，然后求原始序列x(0)( k )与(0)( k )的残差序列Δ(0)( k ) =X(0)(k)-(0)(k)φ(k) =，相对误差序列×100%，平均相对误差φ(k)，精度θ=(1-)×100%。对于相对误差φ(k)，一般要求φ(k) ＜ 20%，最好φ(k) ＜ 10%；对于精度要求θ＞ 80%，最好θ＞ 90%。

（2）关联度检验。计算X(0)(k)与(0)(k)的关联系数η(0)(k)，即η(k)=，一般ρ=0.5，再求出关联度rη(k)。若关联度r＞ 0.6，则通过检验。

表1 拟合精度等级

4我国人口老龄化预测

4.1 数据来源

原始数据来自国家统计局官网1996—2015年人口年龄结构和抚养比统计数据（见表2），利用原始数据对建立的GM（1, 1）模型进行检测，如果检测精度较高，那么该模型对未来五年内的我国65岁及以上老年人口数和抚养比做出的预测值才具有更高的可信度。

4.2 针对老年人口建立GM（1, 1）预测模型

根据表2数据建立GM（1, 1）预测模型的灰微分方程为：

表2 1996—2015年我国65岁及以上老年人口数和抚养比

根据最小二乘法求得上式方程的参数值为：a=-0.0316,b=7578.3，其对应的白化方程为：

则对应的时间响应式为：

由表3计算出平均相对残差=1.23%，精度较高；关联度r=0.6264＞0.6，模型比较满意；方差比C=4.1528×10-6＜0.35，小误差概率P=1≥0.095，预测精度等级为最好。因此，该模型结果可信度高，可用于老龄化预测，从而得到2016—2020年我国65岁及以上老年人口数平均预测值（见表4）。

4.3 针对老年人口抚养比建立GM（1, 1）预测模型

采用4.2类似的方法可对我国65岁及以上老年人口抚养比进行预测，得到老年人口抚养比的白化方程为：

则对应的时间响应式为：

表3 1996—2015年我国65岁及以上老年人口数模拟值

表4 2016—2020年我国65岁及以上老年人口数预测值

表5 1996—2015年我国65岁及以上老年人口抚养比模拟值

5结论与建议

2016—2020年我国65岁及以上老年人口数和抚养比整体都呈上升趋势，到2020年，我国65岁及以上老年人口数达1.6427亿人（见表4），抚养比高达15.0336%（见表6），没有下降的趋势，形势非常严峻。为有效缓解人口老龄化危机，应采取有效应对措施。

（1）加强顶层设计，大力发展老龄化产业。主要是对市场进行细分，满足老年消费者的个性化需求。人口老龄化蕴藏着巨大的商机，需要充分挖掘其潜力，推动老龄化产业的发展，变被动承受为主动积极参与[5]。

（2）积极研制养老金制度和退休制度的改革，构建社区老年人服务体系。让老年人处于一个心理健康、生活充实而愉快的环境，增加老年人晚年生活的健康和幸福指数，减少依赖，降低国家人力资源的浪费。

（3）办好老年人的教育与就业。通过办好老年大学或社区活动，给老年人提供继续学习的机会，促进老年人保持积极向上的心态，提升老年人的认知、情感和社交能力，从而提高老年人的生活质量。同时可提供老年人发挥余热的机会，增加老年人的收入，促进国家经济全面增长。

（4）继续开放生育政策，吸纳外来人口以降低老龄抚养压力。充分发挥人才优势，加大技术创新能力，提高生产效率，扩大人口红利，稳固发展经济实力，以适应我国老龄化趋势[6]。

表6 2016—2020年我国65岁及以上老年人口抚养比预测值

我国人口老龄化问题影响着老龄化事业的发展及养老服务和养老产业的发展方向。为有效缓解我国日益严峻的人口老龄化危机，不仅要关注老年人的身心健康，还要关注老年人的需求、情感、社交、服务、社会参与程度等方面，制定和推行积极的人口老龄化政策。