对一道竞赛题答案的质疑与探究
2018-10-24广东省佛山市乐从中学邮编528315
中学数学教学 2018年5期
广东省佛山市乐从中学 (邮编:528315)
题目(2018年全国高中数学联赛安徽预赛第11题)
x2+2y2+3z2≥k(xy+yz+zx).
试证明你的结论.
问题(1)比较简单,在此略去.
对于问题(2),网上传出标准答案,摘录如下:
下面给出问题(2)的两种解法.
解法一
实际上,设f(k)=k3+6k2-24(k≥0),则f′(k)=3k2+12k≥0,所以f(k)在(0,+∞)上递增,且有f(0)=-24<0,由零点定理可知f(k)=k3+6k2-24=0在(0,+∞)必有一个正根.
解法二已知嵌入不等式:若A+B+C=π,则对于任意的实数x、y、z,都有:x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.于是
所以满足
解答之余,自然想到:符合条件的k值不但存在,而且有无数个,如1.75,1.751,…,利用数学软件Geogebra,画出函数f(k)=k3+6k2-24(k≥0)的图象,可知函数的零点约为1.75877,那么符合条件的k值中,有没有最大值?若有,最大值是多少?
经探究,符合条件的k值中是有最大值的,最大值的求解如下: