从一个轮子悖论谈起

山东省聊城市第六中学 (邮编：252000)

1 问题呈现

图1

如图1所示，亚里士多德说：有两个大小不等的同心圆，半径分别为R和r(R>r).大⊙O从A点出发，沿直线L1滚动一周到A1，线段AA1的长度应等于大⊙O的周长2πR.大⊙O和小⊙O是固定在一起的同心圆，大⊙O滚动一周，小⊙O也滚动一周，这样就应该有BB1=2πr.因为AA1=BB1，所以2πR=2πr，得R=r.它表明大⊙O和小⊙O大小相等.这当然不可能！可问题出在哪儿呢？

上述问题被称为亚里士多德轮子悖论(见文[1]).再次激起笔者对该问题的思考，有两个原因：

(1)文[1]虽提到该悖论问题，但未做深入剖析，故进一步探究可弥补文[1]中此项教学资源之不足，从而更好地满足各种教学需求.

图2

基于以上原因，笔者也谈一点粗浅认识，供同行参考.

2 分析探究

图3

如果把大⊙O在直线L1上的滚动分解为该圆随圆心O的平动(这里的平动指圆内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变)和绕圆心O的转动，那么大⊙O的平动如图1所示，大⊙O的转动如图3所示(注：圆转动时，圆与直线的不同切点间依次变动的方向与圆本身转动的方向相反).

显然，小⊙O与大⊙O作为固定在一起的同心圆，也要进行相应地平动和转动.但问题是这两个圆的运动状态是否完全相同呢？轮子悖论的症结何在？

对此，从以下几个方面进行分析：

2.1 通过速度合成考察两圆的滚动

图4

2.2 通过图形叠加考察两圆滚动的路程

因为轮子在滚动过程中，其滚动可分解为平动与转动，而这两种分运动都会对圆的运动位置产生影响，所以为探寻两种运动互相作用的结果，不妨以轮子转动过程中的动点A为参照点，把同一时间段内大⊙O与小⊙O所对应的平动图叠加到转动图上，如图5中的实线部分所示.这样，若从转动的角度看平动，易知：大⊙O与小⊙O的平动过程对应着两个转动，即当图5中右下角的大⊙O与小⊙O均以点O为旋转中心，按顺时针方向转动角度θ时，图5左上角的大⊙O与小⊙O则相应地均以点A为旋转中心，按逆时针方向也应转动角度θ，而且后者使小⊙O沿小⊙A按逆时针方向滑动.再根据前面的分析结论，既然小⊙O在直线L2上有滑动现象，则由运动的相对性知，在同一段时间t内，小⊙O在小⊙A上滑动的弧BB之长就等于小⊙O在直线L2上滑动的距离.因此，根据运动的独立性原理，考察动点A(或B)分别到点A1(或B1)的移动路径，会发现：

图5

对于同一段时间t来说，图1中动点A在时间t内平动的路程AA1=图5中点A沿大⊙O在时间t内顺时针方向转动的弧AA1的长；图1中动点B在时间t内平动的路程BB1=图5中小⊙O沿⊙A在时间t内逆时针方向滑动的弧BB的长+图5中点B沿小⊙O在时间t内顺时针方向转动的弧BB1的长.根据前面的分析结论，因为大⊙O在直线L1上做无滑动的滚动，所以前者是显然的，而后者可通过计算来验证：线段BB1的长=线段AA1的长=弧AA1的长=Rθ=(R-r)θ+rθ=弧BB的长+弧BB1的长.特别地，当θ=2π时，该式仍成立.由此表明，轮子悖论的症结在于忽视了小⊙O在滚动过程中所发生的滑动.

2.3 小⊙O的滑动为什么看不见？

因为在观察大⊙O与小⊙O的滚动状态时，一般将其分为平动和转动两种运动状态，而且这两个圆又是固定在一起的同心圆，所以在这两种运动状态下，它们的平动速度相同，转动的角速度也相同.因此，如果将这两种运动状态割裂开来，只是单纯地从平动速度v0或转动角速度ω上来考察两个圆的滚动情况，当然是看不出差别的.这样一来，根据大⊙O做无滑动的滚动，就容易误认为小⊙O也是做无滑动的滚动.可见，看不出小⊙O的滑动现象，是因为观察的角度太片面，且缺乏深入分析所造成的.

3 拓展延伸

前面对轮子悖论的分析表明，随着时间t的延续，小⊙O在滚动过程中自始至终都有滑动现象.不仅如此，如果把小⊙O的半径r视为变量(0

动点B在时间t内平动的路程=该点B在时间t内转动的路程与其滑动的路程之和.(*)

笔者指出，结论(*)不仅当大⊙O在直线轨道上滚动时成立，而且当大⊙O在圆弧形曲线轨道上滚动时也成立.现分析如下：

3.1 当大⊙O在圆弧形轨道(令其半径为d)上滚动时

为方便起见，不妨设大⊙O沿圆弧形轨道恰好滚动了一周(所谓圆滚动一周是指，圆上的每一点(起始点除外)有且仅有一次作为圆与轨道的公切点)，且把圆的滚动分解为沿圆弧形轨道的平动和绕圆心的转动两种运动形式，并分成下列两种情况进行讨论：

图6

图7

3.2 当大⊙O绕一点旋转时

不妨设大⊙O绕点A旋转过的角度为θ，并把该旋转分解为平动和转动两种运动状态，如图8所示.那么，若以转动的观点看平动，由图8可见：大⊙O和小⊙O随其圆心分别平动到大⊙O1和小⊙O1的位置，相当于除了两个圆绕点A的转动外，还伴随着发生了两个圆绕点O的转动(转动的角度均为θ).因此，类比前面的结论，可进一步得到：从点A到A1，点A只有转动而无滑动，且点A转动的弧AA1的长=Rθ，但从点B到B1，点B既有转动又有滑动，且该点转动与滑动的路程之和=rθ+(R-r)θ=Rθ；另外，还易知点A、B分别平动到点A1、B1时，其平动的路程相等，即弧AmA1的长=弧BmB1的长=弧OmO1的长=Rθ，故当大⊙O绕一点A旋转时，结论(*)仍成立.

图8

3.3 当大⊙O与轨道上不同的点同时接触时

图9

如图9所示，当大⊙O与轨道上不同的点A、B、C同时接触时，因为这一时刻所持续的时间t=0，所以大⊙O(包括小⊙O)在这段轨道(从点A到点C)上不可能发生任何形式的运动.因此，(*)式两端的各部分路程均可视为0，故结论(*)仍成立.但是需要指出，当大⊙O进入或离开这段轨道时，它在该轨道两端点A(或C)上有可能发生旋转，而由上述分析知，这种旋转发生与否，结论(*)均成立.

显然，对于平面上的曲线轨道而言，如果它是由圆弧形的轨道和直线形的轨道连接而成的，那么当大⊙O(包含小⊙O)在这样的轨道上滚动时，除上述已讨论过的几种情况外，不可能再有其它情况.因此，综合上述各个结论知，当大⊙O在由圆弧和直线(或线段)连接而成的平面曲线轨道上滚动时，结论(*)都成立.这表明结论(*)深刻反映了轮子滚动问题的本质，从而它也透彻地揭示了轮子悖论背后所隐藏的秘密.