基于学科核心素养 培养直观想象能力

湖北省黄石市第一中学 (邮编：435000)

直观想象是数学学科六大核心素养之一，它指的是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．

下面以部分典型的高考试题或高考模拟试题为例，从直观想象思维过程中的几个环节，分析直观想象核心素养如何在高考试题中渗透，平日教学我们又如何培养学生直观想象能力．

1 利用图形描述数学问题

例1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )

解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．故选A．

评析将生活实际问题转化为数学模型，从数学角度来描述变化规律是数学应用的一个重要方面．本题利用函数s=s(t)的图象描述了汽车开始启动、加速行驶、匀速行驶、减速停车四个阶段的运动状态．函数图象是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图象，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律．在本题解答过程中，学生直观想象素养的主要表现就是能够运用直观想象认识事物，分析图形与图形、图形与数量的关系，进而解决相应的问题．

在平日课堂教学中，教师要引导学生利用图形描述数学问题．例如在函数概念教学中，教师引导学生利用函数图象描述各种变化规律，加深对函数概念的理解．通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目的．这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”．运用直观想象有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，是我们解决数学问题的一种有利方式．学生在学习过程中，注重对数学符号语言和直观图形语言之间的灵活转换，有利于学生直观想象能力的提高，同时在培养学生的想象力、逻辑思维能力等方面也能起到良好的训练作用．

2 利用图形理解数学问题

例2对于集合M、N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M)．设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于( )

根据题意，结合右图，可知

评析本题是新定义问题，理解好M-N和M⊕N是关键．我们借助韦恩图直观的描述集合之间的一种特殊运算“M-N”为上图阴影部分，也即M∩(CRN)．正确理解新定义，耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类集合新定义问题的突破口．在本题解答过程中，学生直观想象素养的表现主要就是能够借助几何直观理解新定义．

在平日课堂教学中，教师要引导学生利用图形理解数学问题．例如在集合教学中，注重引导学生借助韦恩图、数轴、平面直角坐标理解并解决相关问题．通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口．同样，教师在解题教学中应当尽可能直观地分析解题思路，强化学生的用图意识，有意识地将试题中代数形式的表象与几何直观表象产生联系，培养学生灵活的使用几何直观与想象进行解题的习惯．运用图形的直观性有助于帮助学生直观地理解数学，直观想象在整个数学学习过程中都发挥着重要作用．

3 利用图形探索和解决数学问题

例3若关于x的方程ax2-2ax+1=x(1-lnx)有唯一解，则实数a的取值范围是______．

据图象可知，实数a的取值范围是(-∞,0]．

在平日课堂教学中，教师要引导学生利用图形探索和解决数学问题．例如在函数教学中注重引导学生借助函数的图象或方程的曲线解决相关问题．通过构造函数并作出相应函数图象，实现数形结合，探索解决问题的思路，并预测结果．利用几何直观与想象解决数学问题，不仅要学会借助几何图形将抽象的试题直观化，还要培养学生对图形的直观洞察力，根据图形中的已知信息向着结论进行直观化推理，探索出解题的思路．著名的数学家华罗庚先生曾说：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔家分离万事休．几何代数统一体，永远联系莫分离．”

4 构建数学问题的直观模型

解析由几何特征可构造一个三棱锥P-ABC,且PA=a,PB=b,PC=c,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°．

所以，

由△ABC三边关系有：|AB|+|BC|>|CA|,从而命题得证．

在平日课堂教学中，教师要引导学生构造数学问题的直观模型解决问题．构造的直观模型主要有解析几何模型、立体几何模型和平面几何模型：解析几何模型，主要有两点间的距离、点与线的距离、斜率、圆锥曲线等；立体几何模型主要有长方体、四面体等；在平面几何中，一般有构造三角形(直角、等腰、等边三角形)、正方形、直角梯形、圆及相关组合．图形是几何直观与想象的基础，直观化的问题呈现不仅有利于对数学问题的把握和推理，也有利于对代数方式的解答进行审视．构造几何图形解题是解决数学问题一种思想之一，它是根据问题的内在联系或数式的结构特征，恰当地赋予其几何意义，构造出一个与原问题有关或等价的“几何模型”，借助几何图形的有关公式、性质、位置关系，在数与形之间架设桥梁，达到解决问题的目的．构造思想是一种创新思维，面对代数结构的特征，运用直观想象能力将其转化为几何问题，从而简化代数运算，这也是培养直观想象核心素养的途径之一．

通过直观想象核心素养的培养，学生能发展几何直观和空间想象能力；增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力；形成数学直觉，在具体的情景中感悟事物的本质．数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，理解并掌握“数”与“形”的结合，有助于增强数学的数学科学素养，提高分析问题和解决问题的能力．在平日课堂教学过程中面对数学概念、思想、方法时，教师应引导学生“关注”其中蕴涵的数学直观，积极引导学生借助图形解决问题，提高“数”与“形”的转换，将实际问题抽象为数学问题，锻炼学生数学思维的敏锐性、广泛性和灵活性，进而提升学生的思维品质，有利于学生的终生发展．