新课标视角下概率分布模型的教学设计——两点分布与超几何分布

华中师范大学数学与统计学学院 (邮编：430079)

本节课改变传统教学的思路，让学生在熟悉的情境中，用数学的眼光发现问题，用数学思维解决问题，发展数学的核心素养.学生学会运用Excel计算有关随机事件的概率.选用Excel作为课程整合的技术平台，一是因为学生对Excel 较为熟悉，二是因为Excel有强大的统计功能，能够即时反映运算结果.教师既能在上课时放手让学生操作，也可以将相关数据文件通过网络传送给学生，让学生在课后通过操作来回顾教学内容.从而使信息技术真正地为数学学习服务.

1 教学流程

1.1 创设情境 引入问题

某周末，老师去公园散步的时候发现附近有一地方聚集了很多人，走近一看，原来是摸奖游戏.其中有一人说：“摸奖有什么好玩的！”，老板笑着说：“摸奖不好玩，但是有重奖.”那人一听便来了兴趣，连忙问游戏规则，老板说：我在这个不透明的纸箱里放了十个红球、十个白球.除颜色不同外，球的形状、大小、重量都相同.搅拌均匀后摸球者从中任意摸出十个球，按下列规则计分：

表1

摸球5次，累计计分，如果最终为正分，就可以获得奖品.有意思的是，老师观察了一段时间发现，虽然摸奖的人很多，但是中奖的人却很少.有没有同学知道这是为什么呢？

设计意图通过现实中的摸奖情境，激发学生的好奇心，使学生的注意力迅速转移到课堂上来.教师通过进一步的提问，引发学生思考，激发学生的探究意识.

1.2 启发思考 深入探究

问题1我们一步一步来分析，假设我们一次从中抽取一个球，有几种可能？每种可能的概率是相等的吗？

学生活动学生独立思考之后，个别举手回答：有两种可能.抽出的球要么是红球，要么不是红球，也就是白球.而且两种球数量相同，所以它们发生的概率也是相等的.

问题2为了验证同学们的猜想，我们可以借助Excel表格模拟摸球游戏.令随机变量

具体操作：

第1步 打开Excel表格，点击“数据”-“数据分析”-“分析工具”-“随机数发生器”.

图1

第2步 点开“随机数发生器”，我们用“1”记作取到红球，用“0”记作取到白球.我们以有放回的摸球5次为一组实验，共作20组.

图2

第3步 录入数据，计算频率.

图3

第4步 随着实验次数的增加，我们可以用计算机作出频率波动的折线图.

学生活动随着实验次数的增加，频率稳定于常数0.5.这也就验证了我们的猜想.

学生板书随机变量X的分布列：

表2

总结像这样的分布列我们称为两点分布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布(two-point distribution)，称p=P(X=1)为成功概率.两点分布又称为0-1分布.

设计意图由计算机辅助教学来模拟摸球游戏，使学生熟悉常用统计软件的使用过程.

问题3我们刚刚已经证实了两种球摸到的概率是一样大的，那么在这个游戏中有八种加分情况、两种平分情况以及一种减分情况下，你觉得摸五次之后累计得正分的概率大吗？老师为了验证同学们的猜想，也带了相同的二十个球，有哪几位同学想来试试看？

学生活动上列十一种情况，论输赢的话，有八种得正分，两种平分，一种得负分.但奇怪的是，一连有十个同学各摸取五次，没有一个同学出现正分.而且，出现的和都是在-60分到-140分的范围之内.有一个同学摸取了15次，累计分数为-260分.不论何人，摸5次以上都会得负分，摸的次数越多，负分就会越多.学生不禁问：在这十一种情况里面，仅有一种负分情况，为什么摸球时的累计分数往往是负数呢？

问题4同学们想想看为什么会出现这种情况呢？在两种球的数量、大小都一样的情况下进行摸球，这些情况出现的可能性是均等的吗？

学生活动如果每个事件发生的可能性是均等的，而且所有事件中只有一种情况记到负分，那么这个抽奖游戏获奖的概率从直觉上来说还是很大的.但是，学生从所观察到的以及操作后的实际情况中发现这个摸奖游戏获奖概率是十分小的，这是不是就可以说明这些事件发生的概率是不均等的，且可能存在某个事件发生的概率要比其他事件发生概率大很多.

问题5这是一个典型的概率问题.因为球除颜色以外，大小、形状、重量都相同，但是，这些事件每个发生的可能性不是均等的.同学们能否试着联系之前学过的排列组合知识，思考下列问题，揭开摸球之“谜”.

(1)从这20个球中，任取10个球的结果数是多少？

(2)从这20个球中，任取10个球，其中恰好取到6个红球的结果数是多少？

(3)从这20个球中，任取10个球，其中恰好取到6个红球的概率是多少？

学生活动学生迫切地想解开这个“谜”，于是联系前面所学的排列组合，独立列出每一个问题的结果：

问题6同学们都具有很强的逻辑推理能力，如果算不出具体结果就先列个式子，老师接下来会教大家一个“武林秘籍”来算出这个值.请你们先仿照上题，试试看能不能列出所有情况的概率.

“十个全红”与“十个全白”的概率相等：

“九红一白”与“一红九白”的概率相等：

“八红二白”与“二红八白”的概率相等：

“七红三白”与“三红七白”的概率相等：

“六红四白”与“四红六白”的概率相等：

问题7老师发现同学们不仅有着很强的逻辑推理能力，还具有很强的归纳总结能力，那么老师再问同学们，根据上表，假设摸到红球的个数为X,能否试着写出X的分布列？

学生活动学生尝试独立完成，师生进行交流后，老师总结并补充学生答案，得出其随机变量X的分布列为：

表3

总结我们把这样的分布列称为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称随机变量服X从超几何分布(hypergeometric distribution).

推广到一般情况，在总数为N个元素中，有M个红球，则从N中抽取n个元素，其中恰好有k个红球的概率为：

m=min{M,n},n≤N,M≤N

由上式定义的一组概率称为超几何分布(这是由于上式右端形如一个超几何数展开式中的一项系数而沿引名).超几何分布常用来计算无放回无次序的随机抽样的概率.

设计意图建立超几何分布概率模型是本节课的一个重要目标.同时考虑到在识别具体的概率模型上，存在一定的困难.因此，从具体的概率计算入手，引导学生逐步抽象出具体模型，使学生头脑中初步形成的模糊的概率模型更加清晰和准确.

1.3 运用工具 构建知识

师：老师承诺大家的“武林秘籍”就在同学们面前——Excel.我们以摸出一个红球和9个白球这一事件为例，具体操作：

第1步 打开Excel，在同一列表格中，输入变量.

图5

第2步 录入数据.如图2所示，选择B6，点击插入函数，选择HYPGEOMDIST函数，便可以得出事件发生的概率值.

图6

第3步 计算出事件发生的概率值[1].

图7

师生一起将结果填入表5：

表4

师：由上表我们可以看出事件发生的概率是不均等的.他们的可能性进行了不均等的分配，概率分配又叫概率分布，为了直观形象地描绘概率分布的情况，老师在电脑上画出了概率分布图(图4).(其中横坐标表示发生的事件，纵坐标表示相应的概率.)

图8

从图表中看出，要恰好摸取“十个全红”和“十个全白”的可能性仅有百万分之五，这就是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，在一次摸取中，基本上是不会发生的.而摸到“五白五红”的可能性是34.4%，这种情况是比较容易出现的，所以每次累计，一般都是负分.这就初步地揭开了摸球游戏之“谜”.

设计意图本节课的教学使用Excel 作为技术载体，利用该软件在概率统计计算与结果演示方面的优势.Excel界面简洁、操作方便、函数丰富，便于在教学中即时录入数据、呈现结果，教学内容可以即时生成，教学过程交互性强.从而使学生认识到，技术的使用不再只是华丽的表演，而是数学学习的真实需要.

1.4 课堂小结 巩固练习

略

2 课例解析

现实生产和生活中的许多问题都是通过两点分布与超几何分布这两个概率模型来实现的.本节教学在已经学习了离散型随机变量概念的基础上，由生活实例引入，让学生感受到随机变量更深层次的分类.利用Excel表格中的随机数生成器和超几何分布函数，以及计算机的随机模拟结果，引导学生更好理解随机事件发生的概率和两个重要的概率模型.同时，在一系列层次递增的问题串中适当回顾和运用旧知识.从摸奖活动这一真实情境入手，教师向学生提出角度不同的问题.通过一系列问题的提出和解决，让学生抽象出这两个概率模型.摸奖游戏所蕴含的中奖概率问题就转化为了运用这两个概率模型去解决实际问题.

3 教学反思

数学的教育过程要有机融入核心素养，把“三会”具体化，赋予更深刻的内涵[2].学生核心素养的形成和发展，是在教师的引导下，学生通过独立思考，自己“悟”出来的.所以，在概率模型的建立过程中，借助信息技术弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，帮助学生把握抽象的本质.识别一个随机试验中的随机变量是否服从超几何分布，需要对问题进行理性的分析.当完成了识别，认定某个随机变量服从超几何分布后，可以使用公式求解该随机变量的概率分布列，但数据的计算、验证，以及将概率分布直观化等工作，可由信息技术来完成. 创设适宜的教学情境，寓游戏于教学之中，增强教学的趣味性，感悟数学的基本思想，更好体现了知识发生的背景和应用的价值，也为学生由感性认识向理性思考过渡创造了条件.