三角函数值的刍议

苏倩倩

【摘  要】三角函数作为一类重要的数学工具在物理学中有着广泛的应用，而对于三角函数值，大多数学生只是从单位圆的周期性中对一些特殊角的三角函数数值有所了解，本文主要探讨3°倍数角度的三角函数值的无理数表达，利用黄金分割比和方程的思想分别求出sin18°的数值，然后利用三角函数恒等变换求出相应角度的三角函数值的无理数表达式，从而对三角函数有更深刻的认识与了解。

【关键词】三角函数值  黄金分割  方程思想

一、引言

三角函数是中学阶段六类基本初等函数之一，是以角度为自变量，以单位圆在坐标系中所对应的横、纵坐标为相应三角函数值的一类映射，其理论知识与性质是中学生所必须掌握的知识点。

三角函数的研究一直是一个重要的课题：刘丽英探讨三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法;祝全力探讨了三角函数的最值问题;张建军对中学数学三角函数进行系统性的总结。三角函数的理论知识和最值问题是广大教师研究的重点，作者主要探讨三角函数整数角的函数值问题，使得学生对三角函数有一个新的认识，培养学生对三角函数的探索精神。

特殊角的三角函数值在初中阶段是通过三角函数的定义以及直角三角形的边长关系得到，高中阶段将角扩充到任意角，根据单位圆的周期性求出三角函数的一些特殊角的三角函数值，如：30°、45°、60°、90°、120°等以及利用三角函数性质对这些角度的和、差、二倍角和半角的一些数值……然后根据三角函数的周期性可以求出每个周期中的三角函数的特殊角的数值。

很显然，可以根据三角函数两角和差公式求出15°，75°的三角函数值，不难发现，这样求出的三角函数的数值之间的角度数相差15°，即：以15°为等差数列的公差的三角函数值都可以用无理数的形式表达。

而对于一般的角度，可以通过计算器计算得出，而对于计算器计算出来的都是一些近似值，非准确值，如果通过数学知识将一些度数的三角函数值用具体的无理数表达，可以让读者对于三角函数以及无理数有着更深刻的认识，本文主要将以15°为等差数列的公差的三角函数值缩小到公差为3°，从而对三角函数产生再认识，有助于对三角函数的理解和学习，探索三角函数数值的奥秘。

二、关于sin18° 的两种求法：

由此，就可以得出sin3°的无理数的表达形式，虽然形式比较复杂，但是可以直观的认识三角函数的准确值，与计算器所得出的近似值相比，我们可以得出准确值。此外，然后根据三角函数的恒等变换，可以知道cos3°的无理数表达形式，然后根据倍角公式可以一步步的推出6°、9°、12°……等等一系列的三角函数的无理数表达形式。

由此可以得出：以0°为首项3°，为公差的等差数列的三角函数值均可以用无理数形式表达。另一方面从三角函数的数值可以看出无理数并非仅仅是对有理数开方所获得，无理数的开方也可以获得无理数，即：无理数的个数要远远多于有理数的个数。

如果将sin1°的数值求出，即可将所有三角函数的整数的度数求出，根据sin3°与sin1°的关系，这里涉及到三倍角的关系，通过计算可以利用盛金公式求出sin1°的三角函数值，有兴趣的同学可以查找资料进行研究。

参考文献

[1]刘丽英.三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法[J]中国科教创新导刊，2009，（15）

[2]祝全力.三角函数的最值问题探索[J]中国科教创新导刊，2009，（3）

[3]张建军. 高中數学三角函数的总结研究[J]理论研究，2013-03

[4]靳平主编，《数学的100个基本问题》[M]，山西科学技术出版社，2004