例谈“分类思想”在一元一次不等式（组）中的运用

唐海树

摘 要：“分类”是一种重要的数学思想。“分类思想”的灵活、适当和准确的应用，可以化不等式的难点为易，化抽象为直观……

关键词：分类 数学思想 一元一次不等式（组） 运用

对当前大多数农村初中学生而言，数学基础差，能力弱已经成为一种不可避而不谈的趋势。本文结合新课标要求，针对农村初中学生的学学习特点和基础，结合笔者的授课经验，用实例来谈一谈 “分类思想”在一元一次不等式（组）中的运用，以培养学生良好的数学思想和意识。

《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“分类，是一种重要的数学思想。……学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。”可伴随着升学和考试的压力，不少老师在授课中只注重于让学生在题海中遨游，而忽视了总结题目本身所反应的数学思想。如此，不但事倍功半，更失去了数学学习的核心价值。

一元一次不等式（组）的问题中牵涉到的数学思想比较多，如整体思想、方程思想、转化思想等，分类思想在其中占据重要一席地位。笔者在教授沪科版七年级数学（下）第7章一元一次不等式（组）时，常发现学生在解决牵涉字母的一元不等式（组）和一元一次不等式（组）的实际问题时，或者错误百出，或者束手无策。现针对农村初中学

生的学学习特点和基础，结合笔者的授课经验，谈一谈 “分类思想”在一元一次不等式（组）中的应用。

1 巧分类，灵活运用不等式的基本性质

不等式的五个基本性质，教学时，我是通过类比等式的基本性质而引入和讲解的。通过比较，得出不等式和等式基本性质的异同，体现了类比的数学数学思想，有助于学生的理解。但是，不等式和等式基本性质的异同，学生初学时难以熟练的运用，然而这个难点却是习题和考卷中的“家常菜”。

例1：比较2a与3a的大小。

对于农村七年级的学生而言，看到字母前没有“-”号，便认为a是正数，从而错误的认为2a<3a。其实a是字母，在题目没有明确说明a的范围时，a可以表示任何的实数，所以a的取值可能有三种情况：（1）a>0，（2）a=0，（3）a<0，在三种不同的可能取值情况下，因为2<3已然成立，所以不难得出：（1）当a>0时，2a<3a（2）当a=0时，2a=3a（3）当a<0时，2a>3a。此处分类，价值有三：（1）体现了用字母表示数的优点；（2）培养了学生严谨的数学思维；（3）巩固学习了不等式的基本性质。

2 善分类，能解数字系数的一元一次不等式组

新课标要求：“会用数轴确定由两个数字系数的一元一次不等式组成的不等式组的解集”。于是，不少出题者在出此类题目时，总会设置一些障碍，以此来考察学生思维的全面性和解题能力。对于农村中学生而言，数学基础决定了其思维的局限性，再加上平时获取数学知识的方式有限，训练少，对数学概念的理解不够透彻，在遇到这些障碍时，也会显得力不从心，顾此失彼。

例2：已知两个代数式4a+5与2a-1的值符号相同，求a得取值范围。

当时我在改作业中的这题时，全班70%以上的学生不会做，经过提示后仍有为数不少的学生出现了这种不全面的解题：

图1 学生的不完整解答

对大多数农村学生而言，缺乏对数学概念的理解，更不善于进行分类。

“符号相同”就意味着“同正”或“同负”，二者皆可，所以要进行分类讨论：

或

可以借助数轴，确定两个不等式组的解集分别为，因为两种情况都有可能，所以a的取值范围是。

教学时，对于作业中的出现的问题，我也常把它们先分类，再讲解，我认为这样可以帮助学生更有效的掌握与接受知识。上述例2 的出现与讲解之后，我便将之后作业中的一个类似问题让学生思考并解答：

例3：如果关于x，y的方程组，的解同号，求k的取值范围。

虽然此时学生在对把方程组的解x，y用含k的代数式表示时有困难，但是可喜的是，只要把方程组的解求出的学生都能正确的列出不等式组，从而借助数轴求出k的取值范围是k>3或k<。

通过这两题的练习，不仅帮助学生巩固复习了已学的数学概念，培养了数学计算能力，更让学生树立了正确思考和分类的数学思想和意识，为进一步学好数学奠定了一定的基础。

3 适时分类，借助数轴攻破思维障碍

一元一次不等式这一章，喜欢也习惯出这样一种题型：

例4：已知关于x的不等式只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a的取值范围是什么？

对于农村初中生而言，本题很抽象，无处入手。如果能适时分类，并借助数轴，便能很直观地解决此类题型。教学时，我先让学生求出这个不等式的解集，再让学生画出一条数轴，并把这个不等式的四个正整数解在数轴上用点表示出来，接下来，就是将借助数轴让分类思想来发挥作用：若<1，很明显，原不等式便没有正整数解，若，原不等式的正整数解只有1个，就是1，不合题意，所以表示数点一定在表示数1点的右边，于是在数轴上，将表示数的点继续往右移动，很直观的将不正确的范围一一排除，直到时，原不等式的解集才包含1，2，3，4，若表示数的点继续往右移动，当时，解集依然符合题意，但当时，符合条件的正整数解便逐渐增多，不止1，2，3，4四个。综上分析，可列不等式组因而轻松解出

因为数轴是解决数学问题的一种重要的模型，将分类思想和数轴应用于此题的分析与讲解，通俗易懂，事半功倍！由此可见，正确的分类是解决一元一次不等式（组）问题的关键。

数学的基础性、普及性和发展性要求我们的学生学习必需的数學，让不同的学生在数学上得到不同的发展，作为重要的一种数学模型，一元一次不等式（组）的学习和学好显得尤为必要。而“分类思想”的灵活、适当和准确的应用，可以化不等式的难点为易，化抽象为直观……，因而，在教学中我们尽可能地让每一名学生都来嗅一嗅“分类思想”这朵盛开之花的芳香！

参考文献

[1]钱小刚：《例谈一元一次不等式（组）中的数学思想》，《初中生世界：七年级》2015年 第6期

[2]《义务教育数学课程标准》（2011版），北京师范大学出版集团2012年1月第1版，第29，第46页